2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интегрирование непрерывной на интервале функции
Сообщение18.06.2022, 10:11 
Аватара пользователя
Здравствуйте!
Известно, что если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она интегрируема на данном отрезке, т.е. существует определённый интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$.

Если дана функция $f(x)$ непрерывная на интервале $(a,b)$, то можно ли вычислить интеграл следующем образом
$$
\int\limits_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x)dx,
$$
где $\varepsilon$ - сколь угодное малое положительное число, и сделать вывод об интегрируемости функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$?

 
 
 
 Re: Интегрирование непрерывной на интервале функции
Сообщение18.06.2022, 10:19 
Ёж в сообщении #1557825 писал(а):
Если дана функция $f(x)$ непрерывная на интервале $(a,b)$, то можно ли вычислить интеграл следующем образом
$$
\int\limits_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x)dx,
$$
где $\varepsilon$ - сколь угодное малое положительное число, и сделать вывод об интегрируемости функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$?

Нет, она даже не обязана быть ограниченной на отрезке. Это если говорить об интегрируемости по Риману.
Если речь идет о несобственных интегралах, ответ все еще отрицательный.

 
 
 
 Re: Интегрирование непрерывной на интервале функции
Сообщение18.06.2022, 11:12 
Otta
А если так:
"сделать вывод об интегрируемости функции $f(x)$ на отрезке $[a+\varepsilon,b-\varepsilon]$?

 
 
 
 Re: Интегрирование непрерывной на интервале функции
Сообщение18.06.2022, 12:10 
upgrade
Ну а как иначе ) прежде чем считать интеграл справа, придется его делать, вывод тот.

 
 
 
 Re: Интегрирование непрерывной на интервале функции
Сообщение18.06.2022, 15:16 
Otta в сообщении #1557835 писал(а):
Ну а как иначе ) прежде чем считать интеграл справа, придется его делать, вывод тот.
Спасибо!)

 
 
 
 Re: Интегрирование непрерывной на интервале функции
Сообщение20.06.2022, 09:35 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #1557826 писал(а):
Нет, она даже не обязана быть ограниченной на отрезке. Это если говорить об интегрируемости по Риману.
Если речь идет о несобственных интегралах, ответ все еще отрицательный.

Спасибо, понял!
Еще один вопрос.
Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и непрерывно дифференцируема на интервале $(a,b)$, то можно ли вычислить интеграл следующем образом
$$
\int\limits_a^b f'(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f'(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0} f(x)\bigg|\limits_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon}=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}(f(b-\varepsilon)- f(a+\varepsilon))=f(b)- f(a)
$$

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение20.06.2022, 09:59 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение20.06.2022, 16:56 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»


-- 20.06.2022, 18:59 --

Ёж в сообщении #1557973 писал(а):
можно ли вычислить интеграл следующем образом

Можно.

 
 
 
 Re: Posted automatically
Сообщение21.06.2022, 08:40 
Аватара пользователя
Lia в сообщении #1558004 писал(а):

Ёж в сообщении #1557973 писал(а):
можно ли вычислить интеграл следующем образом

Можно.


Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group