Интегрирование непрерывной на интервале функции

[Ёж]

Здравствуйте!
Известно, что если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она интегрируема на данном отрезке, т.е. существует определённый интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$.

Если дана функция $f(x)$ непрерывная на интервале $(a,b)$, то можно ли вычислить интеграл следующем образом

$$ \int\limits_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x)dx, $$

где $\varepsilon$ - сколь угодное малое положительное число, и сделать вывод об интегрируемости функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$?

[Otta]

Ёж в сообщении #1557825 писал(а):

Если дана функция $f(x)$ непрерывная на интервале $(a,b)$, то можно ли вычислить интеграл следующем образом

$$ \int\limits_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x)dx, $$

где $\varepsilon$ - сколь угодное малое положительное число, и сделать вывод об интегрируемости функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$?

Нет, она даже не обязана быть ограниченной на отрезке. Это если говорить об интегрируемости по Риману.
Если речь идет о несобственных интегралах, ответ все еще отрицательный.

[upgrade]

Otta
А если так:
"сделать вывод об интегрируемости функции $f(x)$ на отрезке $[a+\varepsilon,b-\varepsilon]$?

[Otta]

upgrade
Ну а как иначе ) прежде чем считать интеграл справа, придется его делать, вывод тот.

[upgrade]

Otta в сообщении #1557835 писал(а):

Ну а как иначе ) прежде чем считать интеграл справа, придется его делать, вывод тот.

Спасибо!)

[Ёж]

Otta в сообщении #1557826 писал(а):

Нет, она даже не обязана быть ограниченной на отрезке. Это если говорить об интегрируемости по Риману.
Если речь идет о несобственных интегралах, ответ все еще отрицательный.

Спасибо, понял!
Еще один вопрос.
Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и непрерывно дифференцируема на интервале $(a,b)$, то можно ли вычислить интеграл следующем образом

$$ \int\limits_a^b f'(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f'(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to 0} f(x)\bigg|\limits_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon}=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}(f(b-\varepsilon)- f(a+\varepsilon))=f(b)- f(a) $$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 20.06.2022, 18:59 --

Ёж в сообщении #1557973 писал(а):

можно ли вычислить интеграл следующем образом

Можно.

[Ёж]

Lia в сообщении #1558004 писал(а):

Ёж в сообщении #1557973 писал(а):

можно ли вычислить интеграл следующем образом

Можно.

Спасибо!