Задача о нахождении среднего значения 1/r

[M-1000]

Буду благодарен за советы по решению задачи из сборника Владимира Арнольда "Задачи для детей от 5 до 15 лет" №65 о среднем значении функции $1/r$ по сфере:
http://www.itmathrepetitor.ru/v-i-arnold-zadachi-dlya-detey-5-do-15-let-cha/.

Условие задачи:
Вычислить среднее значение функции $1/r$ (где $r^2 = x^2 + y^2 + z^2$, $r$ – расстояние от начала координат) по сфере радиуса $R$ с центром в точке $(X, Y, Z)$.
У к а з а н и е: Задача связана с законом всемирного тяготения Ньютона и с законом Кулона теории электричества.
В двумерном варианте задачи функцию нужно заменить на $\ln r$, а сферу – на окружность.

Задача не совсем олимпиадная, но надеюсь, подходит под идею раздела. Теорема о среднем значении гармонической функции здесь не должна использоваться, поскольку я предполагаю, даже контингент учеников Арнольда в возрасте 15 лет ею не владел, следовательно ожидается какое-то в меру элементарное решение.

Моя попытка решения:
Система координат расположена таким образом, что центр сферы лежит на оси $x$. Вводя обозначения $d$ - расстояние от начала координат до центра сферы, $R$ - радиус сферы, $\rho(x)$ - радиус малой окружности сферы, находящейся на расстоянии $x$ от начала координат и перпендикулярной оси $x$, $r(x)$ - расстояние от начала координат до точек такой малой окружности. В этих предположениях имеем $\rho = \sqrt{R^2-(x-d)^2}, $r = \sqrt{\rho^2+x^2}=\sqrt{R^2+x^2-(x-d)^2}$.

Воспользовавшись осевой симметрией задачи, среднее должно (?) вычисляться как $ \overline{(1/r)} = 1/(4\pi R^2)\int\limits_{d-R}^{d+R} 2\pi\rho(x)/r(x)dx $. После замены (замен) переменных я пришел к интегралy $\int\limits_{-1}^{1} \sqrt{(1-t^2)/(1+at)}dt$, где постоянной $a$ можно придать смысл величины тригонометрической функции. Этот интеграл взять не в состоянии ни я, ни Wolfram Alpha - определенный интеграл не вычисляется, а неопределенный вычисляется как комбинация эллиптических интегралов первого и второго рода, что тоже за пределами инструментария 10-11 классников.

Буду благодарен за:
1) Указания на возможность взятия этого интеграла
2) Указания в случае если где-то совершена ошибка
3) Указания на альтернативные пути решения, возможно основанные на физических рассуждениях. Как я уже указал наверху, предположительно теорема о среднем значении гармонической функции тоже не принимается.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- не набрано условие задачи;
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 18.06.2022, 23:04 --

В общем-то прямо в условии дана более чем прозрачная подсказка, ее можно разве что дополнительно усилить: поинтересуйтесь содержанием теоремы Ньютона, а еще точнее - значением гравитационного/электростатического потенциала однородной гравитирующей/заряженной сферы. Можно воспользоваться результатом как готовым, но можно просто повторить вывод соответствующего утверждения (он вполне пригоден для физматшкольников).

[Arks]

M-1000
Берите интеграл по слоям, там вообще почти устно

[svv]

В методе Pphantom вообще ничего не надо вычислять — только осознать, что искомое среднее значение $\frac 1 r$ — это потенциал равномерно заряженной сферы с единичным полным зарядом в точке, расположенной на расстоянии $a=\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}$ от центра сферы.

Кстати, при решении задачи не стоит забывать про случай $a<R$.

[M-1000]

Pphantom в сообщении #1557883 писал(а):

В общем-то прямо в условии дана более чем прозрачная подсказка, ее можно разве что дополнительно усилить: поинтересуйтесь содержанием теоремы Ньютона, а еще точнее - значением гравитационного/электростатического потенциала однородной гравитирующей/заряженной сферы. Можно воспользоваться результатом как готовым, но можно просто повторить вывод соответствующего утверждения (он вполне пригоден для физматшкольников).

Если я правильно понимаю, то суть задачи как раз в том, чтобы это вывести.

-- 19.06.2022, 00:41 --

Arks в сообщении #1557886 писал(а):

M-1000
Берите интеграл по слоям, там вообще почти устно

Сумма слагаемых $2\pi \rho(x) dx$, где каждому слою сопоставляется своё значение $1/r(x)$ - это и есть послойное суммирование, я из этого исходил. Если я неправ, вас не затруднит разъяснить чуть более развернуто?

[svv]

M-1000 в сообщении #1557889 писал(а):

Если я правильно понимаю, то суть задачи как раз в том, чтобы это вывести.

Что вывести? Что Ваш интеграл описывает потенциал сферы, или что потенциал равномерно заряженной сферы радиуса $R$ с зарядом $q$ на расстоянии $a\geqslant R$ от центра равен $\frac q a$?

[M-1000]

svv в сообщении #1557890 писал(а):

M-1000 в сообщении #1557889 писал(а):

Если я правильно понимаю, то суть задачи как раз в том, чтобы это вывести.

Что вывести? Что Ваш интеграл описывает потенциал сферы, или что потенциал равномерно заряженной сферы радиуса $R$ с зарядом $q$ на расстоянии $a\geqslant R$ от центра равен $\frac q a$?

Второе

[svv]

В силу сферической симметрии электрическое поле вне сферы направлено радиально и зависит только от расстояния $r$ точки от центра сферы. Тогда по теореме Гаусса вне сферы радиальная компонента $E_r=\frac q{r^2}$, где $q$ — заряд сферы. Это совпадает с полем точечного заряда.
Если в обеих ситуациях (заряд $q$ равномерно распределён по сфере и заряд $q$ сосредоточен в центре) дополнительно потребовать, чтобы потенциал стремился к нулю на бесконечности, то и потенциалы в этих ситуациях будут совпадать (при $r\geqslant R$).

[GAA]

M-1000 в сообщении #1557515 писал(а):

$ \overline{(1/r)} = 1/(4\pi R^2)\int\limits_{d-R}^{d+R} 2\pi\rho(x)/r(x)dx $

Неправильно записан элемент площади (в поверхностном интеграле первого рода). Должно быть так: $ \overline{(1/r)} = 1/(4\pi R^2)\int\limits_{d-R}^{d+R} 2\pi\rho(x) \sqrt{1 + \rho'^2(x)}/r(x)dx.$
Если $d>R>0$, то $\overline{(1/r)} = 1/d$.
Если $R>d> 0$, то $\overline{(1/r)} = 1/R$.

Upd. То что $ \overline{(1/r)} = 1/(4\pi R^2)\int\limits_{d-R}^{d+R} 2\pi\rho(x)/r(x)dx $ не соответствует задаче очевидно: при $r(x) \equiv 1$ это выражение должно было бы быть равно 1 (т.к. интеграл был бы равен площади сферы), но $ \overline{(1/r)} = 1/(4\pi R^2)\int\limits_{d-R}^{d+R} 2\pi\rho(x)dx = \pi/4$. В этом неправильном варианте сфера приближается усеченными круговыми цилиндрами. Дети же должны были приближать усеченными круговыми конусами.

[M-1000]

GAA в сообщении #1557899 писал(а):

M-1000 в сообщении #1557515 писал(а):

$ \overline{(1/r)} = 1/(4\pi R^2)\int\limits_{d-R}^{d+R} 2\pi\rho(x)/r(x)dx $

Неправильно записан элемент площади (в поверхностном интеграле первого рода). Должно быть так: $ \overline{(1/r)} = 1/(4\pi R^2)\int\limits_{d-R}^{d+R} 2\pi\rho(x) \sqrt{1 + \rho'^2(x)}/r(x)dx.$
Если $d>R>0$, то $\overline{(1/r)} = 1/d$.
Если $R>d> 0$, то $\overline{(1/r)} = 1/R$.

Upd. То что $ \overline{(1/r)} = 1/(4\pi R^2)\int\limits_{d-R}^{d+R} 2\pi\rho(x)/r(x)dx $ не соответствует задаче очевидно: при $r(x) \equiv 1$ это выражение должно было бы быть равно 1 (т.к. интеграл был бы равен площади сферы), но $ \overline{(1/r)} = 1/(4\pi R^2)\int\limits_{d-R}^{d+R} 2\pi\rho(x)dx = \pi/4$. В этом неправильном варианте сфера приближается усеченными круговыми цилиндрами. Дети же должны были приближать усеченными круговыми конусами.

Благодарю вас, я понял где была ошибка