Исследовать на сходимость в L_2

[artempalkin]

Исследовать на слабую сходимость и сходимость последовательность $x_n(t)=\sin^2nt\in L_2[0,1]$

Если бы было $[0,\pi]$, то была бы красивая интересная задача (ну по крайней мере для меня, который знает функан ограниченно).

Тогда $x_n(t)=\sin^2nt=\frac {1-\cos 2nt}2=\frac 12-\frac {\cos 2nt}2$. Поскольку $\{\cos nt\}$ (с единицей) полна на $[0,\pi]$ (ну или не совсем поэтому, короче, это ортогональная система, при этом норма каждого из них ограничена), то она слабо сходится к нулю, а значит $x_n(t)$ слабо сходится к $\frac 12$.

Сильной сходимости не будет, потому что расстояние между ортами $\sqrt 2$, при этом сдвиг его не меняет (тут по факту ненормированные, расстояние будет другое, но суть та же - не будет фундаментальности).

Но на $[0,1]$ не совсем ясно... можно доказать, что, опять же, фундаментальности не будет.

$||\cos 2nt - \cos 2mt||^2=\frac 1 4 +O(\frac 1n)+O(\frac 1m)+O(\frac 1{n+m})$, то есть при больших $n$ расстояние будет конечно, например, больше $\frac 14$.

Но вот про слабую сходимость... я не думаю, что сходится слабо, сильно в этом сомневаюсь. Но как доказать не-сходимость?

[thething]

artempalkin
Почему бы тут лемму Римана-Лебега не использовать?

[artempalkin]

thething в сообщении #1556723 писал(а):

Почему бы тут лемму Римана-Лебега не использовать?

Пытаюсь понять, что это такое и как конкретно использовать...

Я нашел такую ее формулировку:

Пусть $f\in L_1$, тогда при $n\to \infty$ коэффициенты ряда Фурье $a_n\to 0$, $b_n\to 0$.

Я так понимаю, в этой лемме существенно, что она верна для элементов $L_1$, потому что в $L_2\subset L_1$ она является обычным свойством ряда Фурье. Соответственно, в наш мир $L_2$ она вроде бы ничего нового не вносит...

[thething]

У Вас есть общий вид ограниченного функционала в $L_2$ (в интегральной форме). Лемму Римана-Лебега лучше формулировать не в терминах коэффициентов Фурье, а для интегралов, т.к. там допускается любой отрезок интегрирования, и даже вся ось. Соответственно, тут нет привязки к ортогональности системы.

[artempalkin]

thething в сообщении #1556789 писал(а):

Лемму Римана-Лебега лучше формулировать не в терминах коэффициентов Фурье, а для интегралов, т.к. там допускается любой отрезок интегрирования, и даже вся ось. Соответственно, тут нет привязки к ортогональности системы.

А вы не приведете ее формулировку? Или ссылку на хорошую формулировку

-- 08.06.2022, 10:02 --

Я вроде нашел такую формулировку: Если $f\in L_1$, то

$$\lim\limits_{p\to\infty}\int\limits_a^bf(x)e^{ipx}dx=0$$

Ну тогда будет слабо сходиться к нулю... в смысле, косинусы... а сама последовательность слабо сходится к $\frac 12$

-- 08.06.2022, 10:11 --

thething
Ага, да, спасибо! Ну да, лемма Римана-Лебега на самом деле почти очевидна и легко доказывается для элементов $L_1$. В том курсе, который я разбирал (и в котором была эта задача), она не разбиралась, но, наверное, предполагалось, что человек ее "выведет"

[thething]

artempalkin в сообщении #1556796 писал(а):

наверное, предполагалось, что человек ее "выведет"

Предполагалось, что человек её знает. По крайней мере из курса мат. анализа для интеграла Римана.

[artempalkin]

thething в сообщении #1556798 писал(а):

Предполагалось, что человек её знает. По крайней мере из курса мат. анализа для интеграла Римана.

Что-то я в курсе матана тоже ее не встречал. Поищу в Фихтенгольце, но что-то есть сомнения. Не нашел...

Как я писал выше, у меня есть подозрения, что должно было бы $[0,\pi]$. Тогда соответствует программе, т.к. про слабую сходимость орт говорилось много.

[g______d]

Попробуйте доказать, что если последовательность $x_n$ слабо сходится к $x$ в $L_2[0,\pi]$, то она же сходится слабо в $L_2[0,1]$ к сужению $x$ на $L_2[0,1]$.

Можно и в более общем виде: если $x_n$ слабо сходится к $x$ в гильбертовом пространстве $H$ и $A\colon H\to H$ -- ограниченный оператор, то $A x_n$ слабо сходится к $Ax$.

[thething]

artempalkin в сообщении #1556846 писал(а):

Поищу в Фихтенгольце, но что-то есть сомнения. Не нашел...

Плохо искали)) Она там называется первая основная лемма в разделе про ряды Фурье в третьем томе. Про принадлежность Риману тоже говорится.

[artempalkin]

thething в сообщении #1556870 писал(а):

Плохо искали))

Ну я по названию искал в алфавитном списке :)

g______d в сообщении #1556849 писал(а):

если $x_n$ слабо сходится к $x$ в гильбертовом пространстве $H$ и $A\colon H\to H$ -- ограниченный оператор, то $A x_n$ слабо сходится к $Ax$.

Ну да, резонно. Мы недавно как раз тут обсуждали это утверждение. Только оператор будет не внутри гильбертова пр-ва, а их одного ГП в другое.

Кстати говоря, это утверждение, по крайней мере для конечного интервала или отрезка, доказывает лемму Римана-Лебега. Оператор "сужения" функции (среза, не знаю, как лучше), очевидно, увеличить ее норму не может.