Вектор Лапласа-Рунге-Ленца

[ptor00]

Добрый день. Возникли трудности при решении, казалось, простой задачи - найти модуль вектора Лапласа-Рунге-Ленца. У меня в ответе получается одно лишнее слагаемое, и никак не могу найти ошибку. Буду рад если кто-нибудь подскажет в чем дело.

$\vec{A} = [\vec{p}\vec{M}] - \frac{ am\vec{r}}{ r}$

$A^{2} = [\vec{p}\vec{M}]^{2} + (am)^{2} - \frac{2am}{r}\vec{r}[\vec{p}\vec{M} ]$

$[\vec{p}\vec{M}]^{2} = (pM)^{2}$

$\vec{r}[\vec{p}\vec{M} ] = M^{2}$

$E = \frac{ p^{2} }{ 2m } - \frac{ a }{ r } + \frac{ M^{2} }{ 2mr^{2}}$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $p^{2} = 2mE + \frac{2ma} {r} - \frac{M^{2}} {r^2}$

В итоге получается:
$A^{2} = 2mEM^{2} + (am)^{2} - \frac{ M^{4} }{ r^{2}}$

А должно быть:
$A^{2} = 2mEM^{2} + (am)^{2}$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- не набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 06.06.2022, 00:55 --

Вообще было бы еще очень недурно обозначения расшифровывать, а то ведь для произвольных векторов, например, вот это

ptor00 в сообщении #1556536 писал(а):

$[\vec{p}\vec{M}]^{2} = (pM)^{2}$

неверно.

ptor00 в сообщении #1556536 писал(а):

$E = \frac{ p^{2} }{ 2m } - \frac{ a }{ r } + \frac{ M^{2} }{ 2mr^{2}}$ $\Rightarrow$

Откуда сие? Я в первую очередь про последний член, хотя во втором пропущен множитель.

[ptor00]

$\vec{p}$ - импульс. $\vec{M}$ - момент импульса.

Третий член в формуле для E - это центробежная энергия.
Во втором члене вроде ничего не пропущено - потенциальная энергия есть $-a\slash{r}$.

Я сначала искал траекторию движения тела в кулоновском поле из сохранения энергии и момента импульса, потом из сохранения вектора Лапласа-Рунге-Ленца. Чтобы показать что получается одно и то же уравнение, надо найти модуль этого вектора, и вот тут проблема возникла.

[Pphantom]

ptor00 в сообщении #1556544 писал(а):

Третий член в формуле для E - это центробежная энергия.

Ой. И откуда же она берется? Вы ж работаете в инерциальной системе отсчета.

Собственно это и есть источник искомой ошибки.

ptor00 в сообщении #1556544 писал(а):

Во втором члене вроде ничего не пропущено - потенциальная энергия есть $-a\slash{r}$.

Проверьте размерности, там массы не хватает.

[ptor00]

Понял в чем ошибка, спасибо.
$p^2 = m^2 \dot{\vec{r}}^2 $, а не $m^{2} \dot{r}^{2}$, и поэтому центробежная энергия уже входит в выражение $p^2 \slash 2m$.

Размерность $a$ - Дж $\cdot$ м.

[Pphantom]

ptor00 в сообщении #1556557 писал(а):

$p^2 = m^2 \dot{\vec{r}}^2 $, а не $m^{2} \dot{r}^{2}$, и поэтому центробежная энергия уже входит в выражение $p^2 \slash 2m$.

Ну можно сказать и так, хотя физически более правильным является утверждение, что это инерциальная система отсчета, поэтому сил инерции нет (и потенциальной энергии центробежной силы, как следствие, тоже).

ptor00 в сообщении #1556557 писал(а):

Размерность $a$ - Дж $\cdot$ м.

А, дошло. Да, обозначения таки полезно ввводить явно. Я привык видеть там удельные величины и не учел, что в другом члене вылезает квадрат массы, а не первая степень.