Пентадекатлон мечты

[EUgeneUS]

Dmitriy40
А планов по ускорителям для новых цепочек вида $M(12n)$ у Вас нет?

[Dmitriy40]

EUgeneUS в сообщении #1556175 писал(а):

Dmitriy40
А планов по ускорителям для новых цепочек вида $M(12n)$ у Вас нет?

А что из них можно более-менее реально посчитать? Я не вижу интересных и решаемых за обозримое время задач $M(12n)$. Во всех ненайденных цепочках числа большие, значит простые встречаются реже и искать более 6-7-ми проверяемых чисел нереально, а менее 4-5 не слишком интересно из-за небольшого ускорения. И в обоих случаях об верхней границе остаётся лишь мечтать.
Вот к примеру оценим время нахождения $M(36)=15$: числа вдвое длиннее чем у $M(12)=15$, а количество простых практически то же, $10\ldots11$, т.е. встречаемость цепочек ALL будет ниже в $2^{10\ldots11}>1000$ раз, т.е. и время увеличится так же, если нахождение $M(12)$ заняло пусть даже пару недель, то здесь уже тысячи недель, а это десятки лет. Даже если навалимся все, то годы.

В принципе ускорителей я могу наделать любых, но лучше бы уже не десятки тысяч, а максимум тысячи: для больших чисел категорически полезно максимально поднимать порог малых простых, а это резко замедляет компиляцию и какой-то последний вариант у меня компилился трое суток (если бы в одном потоке). Это не то чтобы проблема, но клепать ускорители на много разных вариантов уже не получится.

[VAL]

mathematician123 в сообщении #1556159 писал(а):

Прошу прощения, забыл упомянуть, что $k > 1$.

EUgeneUS в сообщении #1556158 писал(а):

А для доказательства гипотезы уважаемого VAL ("совсем общий случай"): $M(k) \le 3$, если $k \equiv \pm 2 \pmod{12}$ ещё что-то осталось? Или эта гипотеза уже доказана?

Остаётся случай $gcd(p_i-1) = 2$. $p_i$ - это простые нечётные делители $d$. А этот случай наиболее часто встречается.

Денис, поздравляю!
Описанный выше процесс отсечения хвоста кошки по частям успешно продолжен!
Кажется, остался распоследний кусочек. Но в руках опытного хирурга...

[EUgeneUS]

Dmitriy40 в сообщении #1556185 писал(а):

Во всех ненайденных цепочках числа большие, значит простые встречаются реже и искать более 6-7-ми проверяемых чисел нереально, а менее 4-5 не слишком интересно из-за небольшого ускорения

1. Но ведь цепочки (в нотации файла Хуго) $T(30,11)$ и $T(18,13)$ всё таки нашли, хотя числа там сильно длиннее, чем $T(6, 15)$.
2. Другие:
72 делителя. Самая длинная известная:

T(36,8) <= 698792882685664985838501396616448 Hugo van der Sanden 2022-04-13

. Число даже короче, чем в $T(6, 15)$.

84 делителя. Самая длинная известная:

T(42,6) <= 301286119966089985897916543688964109372 Hugo van der Sanden 2022-04-13

. Всего на порядок длиннее, чем $T(6, 15)$

96 делителей. Самая длинная известная:

T(48,9) <= 90728182634518874648 Hugo van der Sanden 2022-04-13

. Тут совсем короткое число.

Что касается максимальной цепочки. То, да, наиболее реально найти $T(18,15)$, и согласен - тут надо порядка на два-три поднимать вычислительные мощности.

[VAL]

Dmitriy40 в сообщении #1556160 писал(а):

Вот в этом и беда: за 2.5 месяца VAL так и не удосужился добавить результат в таблицы. Может туда и ещё некоторые не добавили, которые я собрался считать ...

"Не удосужился" - неправильное определение. Правильное - "прозевал".
Зная свою рассеянность, я неоднократно давал ссылки на мой архив, а также дублировал таблицы сюда. И просил высказать замечания.
В частности, для случая $k=116$ достаточно было сопоставить две таблицы, прикрепленные к одному и тому же сообщению, чтобы убедиться, что этот случай посчитан (он есть в таблице с начальными числами цепочек). Не говоря уже о том, что мы с Вами обсуждали этот случай. Так что, ответственность надо разделить на всех

Цитата:

(Длинные строки)

7198723320938862430231659990269391533497550348014071889277681132789912426887693950193442993531930531334075220389159988054105311574699899527698926921750454477188090545807074099361543218008213239954784512519836425781247: 148,148,148,148,148
368361774148022803653266724186284144429943421990252177585176646080858859877422712853387906358008286794655598578946318993507657353632953004044389727793949065691355167364331563091497285218008213239954784512519836425781246: 148,148,148,148,148,148
1447756079436676117654137919889606284938982246249420810969953602703073705497792409064947485280166762248496346979316279397070267523714231219714786142799206171958113179719247279756496905218008213239954784512519836425781245: 148,148,148,148,148,148,148

Теперь и $M(148)=7$ доказано.

Отлично!

В свою очередь сообщаю, что я ищу цепочку из 18 чисел по 24 делителя и 7 чисел по 1000 делителей.

-- 02 июн 2022, 19:06 --

EUgeneUS в сообщении #1556189 писал(а):

96 делителей. Самая длинная известная: Код:

T(48,9) <= 90728182634518874648 Hugo van der Sanden 2022-04-13
. Тут совсем короткое число.

Я больше недели назад отправил Хьюго данные до T(48,12) включительно.
Просто он не успевает обновлять таблицы (мы слишком быстро считаем )

[EUgeneUS]

VAL в сообщении #1556190 писал(а):

Я больше недели назад отправил Хьюго данные до T(48,12) включительно

Тоже хорошо
Но у меня стойкое ощущение, что с ускорителями можно улучшить на 1-3 позиции ;)

[VAL]

EUgeneUS в сообщении #1556192 писал(а):

VAL в сообщении #1556190 писал(а):

Я больше недели назад отправил Хьюго данные до T(48,12) включительно

Тоже хорошо
Но у меня стойкое ощущение, что с ускорителями можно улучшить на 1-3 позиции ;)

Не сомневаюсь!
Я считал (причем недолго) в одном потоке параллельно с поиском 20-ки.

[Dmitriy40]

EUgeneUS в сообщении #1556189 писал(а):

1. Но ведь цепочки (в нотации файла Хуго) $T(30,11)$ и $T(18,13)$ всё таки нашли, хотя числа там сильно длиннее, чем $T(6, 15)$.

Тут сильнее повлияло уменьшение количества искомых простых, 5-7-8 штук найти реально, а вот 10-11 уже нет. Точнее найти то несколько штук реально, но ведь они ещё не будут решениями, там ещё и непроверяемых чисел несколько, я где-то выше говорил что за сутки (или двое) счёта не нашлось вообще ни одной цепочки ALL. А вот 7 простых подряд находятся пару-тройку штук в сутки, даже вдвое-втрое длиннее.

EUgeneUS в сообщении #1556189 писал(а):

2. Другие:

Да, эти все поискать можно, особенно если ограничиться длиной 11-13, при которой нужны лишь 5-6 огромных простых, а не 10. Как оно и было и с 60-ю и с 36-ю делителями.
Но комбинаций паттернов там тьма, а почему VAL предпочитает одни другим мне осталось непонятным, потому сам выбирать паттерны опасаюсь. Единственное про $M(84)$ он высказался какие паттерны взять. Что ж, если будет желание посчитать, то сделаю ускорители (я случай 84 делителей ещё практически не смотрел).

[mathematician123]

VAL
EUgeneUS
Благодарю за поздравления.

Сейчас провёл численный эксперимент. Я искал пары последовательных чётных чисел, количество делителей которых даёт остаток $\pm 2$ от деления на 12. При этом, количество делителей этих чисел может быть различным. Нетрудно показать, что такие пары имеют вид $(2x^2-2, 2x^2)$, где $x$ - нечётное. Я проверил все $x < 10^5$ и не нашёл ни одной такой пары. Может быть, таких пар не существует? Эта гипотеза является обобщением гипотезы $M(k) \le 3$, если $k \equiv \pm 2 \pmod{12}$.

-- 02.06.2022, 22:33 --

Из ABC-гипотезы следует конечность таких пар.

[VAL]

mathematician123 в сообщении #1556206 писал(а):

Сейчас провёл численный эксперимент. Я искал пары последовательных чётных чисел, количество делителей которых даёт остаток $\pm 2$ от деления на 12. При этом, количество делителей этих чисел может быть различным. Нетрудно показать, что такие пары имеют вид $(2x^2-2, 2x^2)$, где $x$ - нечётное. Я проверил все $x < 10^5$ и не нашёл ни одной такой пары. Может быть, таких пар не существует? Эта гипотеза является обобщением гипотезы $M(k) \le 3$, если $k \equiv \pm 2 \pmod{12}$.

В принципе это не удивительно. Очевидно, что даже отдельные составные числа такие, что $\tau(n)$ сравнимо с $\pm 2$ по модулю 12 - большая редкость. Поэтому пары таких чисел, отличающихся на 2 заведомо должны быть ну оче-ень редки.

Цитата:

Из ABC-гипотезы следует конечность таких пар.

Что-то у меня не последовало... Может, обсчитался на ночь глядя.
(Рассматривал гипотетические пары $n_0=2^4p$ и $n_0+2=2q^4$ после сокращения на 2.)

-- 03 июн 2022, 00:03 --

К вопросу о перечислении троек.
Нашел для интереса тройку последовательных чисел, имеющих по 1017050412482 делителей (это больше триллиона!).
Желание перечислять тройки в какой-либо таблице отпало окончательно

-- 03 июн 2022, 00:33 --

Dmitriy40 в сообщении #1556195 писал(а):

а почему VAL предпочитает одни другим мне осталось непонятным

Секрета тут нет. Но описывать долго.
Излагаю основные принципы.
1. Требуемые нетривиальные степени во всех позициях должны присутствовать во всех проверяемых наборах.
2. Оптимальное количество чисел проверяемых на простоту 3 (конкурентоспособно 4). Разумеется, это для тех наборов, где это допустимо.
3. В тех позициях, где до нужного количества делителей не хватает нескольких простых сомножителей, предпочтительнее чтобы этих сомножителей было 3 (допустимо 4, 2 или больше 4 - хуже).
4. При выполнении прочих условий шаг желательно сделать как можно меньшим.
5. Конкурирующие паттерны подвергаю простым тестам. Например, при поиске 20-ки запускал на одно и то же время программы, основанные на разных паттернах и считал, где появится больше наборов с не менее чем 17-ю подходящими числами. И затем тиражировал, переставляя однотипные множители, именно их.

Такой "научный" подход применяю только когда ожидается относительно долгий поиск. Если простой эмпирический тест показывает, что процесс должен сойтись быстро, составляю паттерны на глазок (но первое условие обязательно).

[mathematician123]

VAL в сообщении #1556212 писал(а):

(Рассматривал гипотетические пары $n_0=2^4p$ и $n_0+2=2q^4$ после сокращения на 2.)

Это уравнение преобразуется к $2^3p = (q^2+1)(q-1)(q+1)$. Невозможность этого случая (как я понимаю $p$ простое) нетрудно видеть без использования ABC-гипотезы. Вывод конечности решений могу написать, но завтра. Пока могу сказать идею. Пусть $n_2 = 2x^2$ и $n_0 = 2x^2-2$. Тогда ABC-гипотезу нужно применять к числам $x, 1, x \pm 1$.

[VAL]

mathematician123 в сообщении #1556217 писал(а):

Это уравнение преобразуется к $2^3p = (q^2+1)(q-1)(q+1)$. Невозможность этого случая (как я понимаю $p$ простое) нетрудно видеть без использования ABC-гипотезы.

Ну это-то понятно. Это просто был пример. Как я теперь понимаю, не для тех чисел

Дело в том, что мне приходило в голову применить abc-гипотезу. Но я почему-то ограничился рассмотрением троек $\frac{n_0}2+1=\frac{n_2}2$.

[Dmitriy40]

VAL
Да у меня вопрос попроще: почему-то некоторые простые скажем в квадратах делаете не переставляемыми, во вполне конкретном месте паттерна, хотя никаких условий им там быть не видно (речь не про совсем малые простые, которые попадают в паттерн дважды и более). Сами же говорили что любая такая статистика скорее аномальна, однако почему-то не все простые в квадратах переставляете. Например в паттерне 15tau36 (36 делителей длиной 15) пара 17,19 и одиночное 31 не переставляются, хотя все числа больше длины паттерна и никак влиять не должны. Почему они этим выделены? Непонятно.

[VAL]

Нашел 18 чисел по 24 делителя.
Цепочка стартует с 488900003598703704335810037459507226590256411

-- 03 июн 2022, 01:09 --

Dmitriy40 в сообщении #1556220 писал(а):

Да у меня вопрос попроще: почему-то некоторые простые скажем в квадратах делаете не переставляемыми, во вполне конкретном месте паттерна, хотя никаких условий им там быть не видно (речь не про совсем малые простые, которые попадают в паттерн дважды и более). Сами же говорили что любая такая статистика скорее аномальна, однако почему-то не все простые в квадратах переставляете. Например в паттерне 15tau36
(36 делителей длиной 15) пара 17,19 и одиночное 31 не переставляются, хотя все числа больше длины паттерна и никак влиять не должны. Почему они этим выделены? Непонятно.

Мне тоже непонятно, с чего Вы взяли, что они у меня не переставляемы.
Мы же вместе считали количество перспективных паттернов. При этом учитывалось, что во всех базовых вариантах квадраты 17, 19, 23, 29, 31 и 37 переставляются как угодно.
У меня даже программки сохранились по 720 штук на каждый базовый паттерн.

[EUgeneUS]

VAL в сообщении #1556221 писал(а):

Нашел 18 чисел по 24 делителя.

Поздравляю!
Правильно понимаю, что теперь цепочки чисел по 24 и 48 делителей тоже можно рассматривать для использования ускорителей?

mathematician123 в сообщении #1556206 писал(а):

Из ABC-гипотезы следует конечность таких пар.

ЗдОрово!