Линейный неограниченный функционал в ГП

[Nemiroff]

artempalkin в сообщении #1555473 писал(а):

Точно так же и ваш оператор Nemiroff в сообщении #1555447

писал(а):
$Ae_n=ne_n$ в $l_2$ будет определен не везде, вне зависимости, откуда именно вы взяли набор $e_n$.

Что-то вы всё путаете.
В гильбертовом пространстве можно определить по крайней мере три (даже не два) разных базиса.

Базис Гамеля -- набор векторов, что а) каждое конечное подмножество линейно независимо и б) все конечные линейные комбинации порождают все вектора пространства. Определение можно заменить на "каждый вектор пространства представляется конечной линейной комбинацией единственным образом". Базис Гамеля не требует скалярного произведения и даже нормы -- только линейности пространства.

Базис Шаудера -- последовательность векторов, что для любого вектора $x$ из пространства существует единственное представление $ x = \sum_{i=1}^\infty c_ie_i$. Поскольку здесь есть ряд, нужно объяснить, что такое равенство вектора бесконечной сумме -- здесь имеется в виду, что норма разности левой и правой части стремится к нулю. Поэтому нужна норма. Ряд здесь сходится по норме, и он может сходиться условно.

Ортонормированный базис -- набор векторов, являющийся максимальным (по включению) ортонормированным множеством. Поскольку тут есть ортогональность, то необходимо наличие скалярного произведения.

Так вот, в любом гильбертовом пространстве (при наличии аксиомы выбора) существует базис Гамеля. Он никогда не бывает счётным (в смысле он либо конечный, либо сразу несчётный) -- тут используется полнота.

Базис Шаудера в гильбертовом пространстве существует тогда и только тогда, когда пространство сепарабельно.

Ортонормированный базис существует всегда (при наличии аксиомы выбора) и может быть или не быть счётным.

Если пространство сепарабельно, то любой ортонормированный базис автоматически является базисом Шаудера. Обратное конечно же неверно, более того, порядок векторов в ортонормированном базисе не имеет значения (в смысле сходимости), а в базисе Шаудера может иметь значение.

Если пространство несепарабельно, базиса Шаудера там быть не может, а ортонормированный базис там есть (несчётный).

Далее, базис Гамеля есть в любом (сепарабельном или несепарабельном) пространстве. Если пространство бесконечномерно, то базис Гамеля никогда не равен базису Шаудера (хотя бы потому что базис Гамеля несчётный при бесконечной размерности пространства).

Что более странно -- базис Гамеля (в бесконечномерном пространстве) никогда не является ортонормированным базисом, даже в несепарабельном случае (хотя они могут иметь одинаковую размерность).

--------------------------

В вашем случае я определил функционал на базисе Гамеля, что автоматически определяет его всюду -- просто по линейности. Здесь нет бесконечных сумм, нет пределов, не нужна даже норма. Вся проблема в определении -- в самом базисе Гамеля, его нельзя пощупать.

[artempalkin]

Nemiroff
Спасибо большое за ликбез! Очень полезно, буду использовать как шпаргалку и разбираться!

В целом моя проблема была не в том, что я не понимал различия между базисов Гамеля и Шаудера (хотя я далек от очень глубинного понимания этих вещей, особенно базис Гамеля, который, как я понимаю, никто никогда по факту и не видел в бесконечномерном случае).

Скорее я не понимал вот этот факт:

mihaild в сообщении #1555474 писал(а):

Учтите, что, например, $f(\sum_n \frac{1}{n} e_n)$ совсем не обязано быть равно $\sum \frac{1}{n} f(e_n)$.

-- 26.05.2022, 20:16 --

Если же учесть вот это

artempalkin в сообщении #1555577 писал(а):

Учтите, что, например, $f(\sum_n \frac{1}{n} e_n)$ совсем не обязано быть равно $\sum \frac{1}{n} f(e_n)$.

И далее в сепарабельном ГП $H$ выбрать ортонормированный базис Шаудера $e_n$, и задать на нем функционал $f(e_n)=n$, продлить его до линейной оболочки $<x_1,x_2,...>$, а потом при $y\in H/<x_1,x_2,...>$ считать $f(y)=0$, то, получается, он будет неограниченным (это очевидно) и всюду определенным?

[artempalkin]

Нет, не будет это линейный неограниченный функционал. В том плане, что он не будет линейным. Сумма двух точек $H/<e_1,e_2,...>$ вполне может принадлежать $<e_1,e_2,...>$, а там уже неизвестно что будет...

По всей видимости, единственный способ построить неограниченный функционал есть через базис Гамеля.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1555577 писал(а):

а потом при $y\in H/<x_1,x_2,...>$

А что это за зверь такой - $H / \langle x_1, \ldots \rangle$? Если элемент факторпространства - то функционал определен не на классах векторов, а на векторах. Если дополнительное подпространство - то для существования такого опять нужна аксиома выбора.

artempalkin в сообщении #1555577 писал(а):

базис Гамеля, который, как я понимаю, никто никогда по факту и не видел в бесконечномерном случае

|Можно взять любое бесконечное множество, обозвать его элементы векторами базиса, и рассмотреть пространство формальных их формальных линейных комбинаций (т.е. по сути пространство функций из этого множества в вещественные числа, отличных от нуля в не более чем конечном числе точек).

Nemiroff, мне смутно вспоминается, что был еще вариант базиса "любой элемент однозначно раскладывается в абсолютно сходящийся ряд". Я что-то путаю, и такое понятие рассматривать бессмысленно, или оно тоже как-то называется?

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1555620 писал(а):

А что это за зверь такой - $H / \langle x_1, \ldots \rangle$? Если элемент факторпространства - то функционал определен не на классах векторов, а на векторах. Если дополнительное подпространство - то для существования такого опять нужна аксиома выбора.

Просто $H$ без линейной оболочки $e_1, e_2, ...$

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1555654 писал(а):

Просто $H$ без линейной оболочки $e_1, e_2, ...$

Тогда слеш в другую сторону должен быть, там и название команды соответствующее: $\setminus$.

[Nemiroff]

mihaild в сообщении #1555620 писал(а):

Nemiroff, мне смутно вспоминается, что был еще вариант базиса "любой элемент однозначно раскладывается в абсолютно сходящийся ряд". Я что-то путаю, и такое понятие рассматривать бессмысленно, или оно тоже как-то называется?

Не уверен. Но в Christopher Heil - A Basis Theory Primer есть следующая цепочка утверждений
1) A countable sequence $\{x_n \}$ in a Banach space $X$ is a basis for $X$ if $\forall x \in X$, there exist unique scalars $a_n(x)$ such that

$$x = \sum_n a_n(x) x_n$$

2) $\{x_n\}$ is an absolutely convergent basis if the series in previous equation converge absolutely for each $x \in X$
3) A Banach space $X$ has an absolutely convergent basis if and only if $X$ is topologically isomorphic to $\ell_1$.

[mihaild]

Nemiroff в сообщении #1555894 писал(а):

3) A Banach space $X$ has an absolutely convergent basis if and only if $X$ is topologically isomorphic to $\ell_1$.

Это если коэффициенты непрерывны (что конечно логичное требование, но можно бы и без него). Но да, возможно надо требовать только безусловную сходимость.

[Nemiroff]

Но ведь каждая частичная сумма непрерывна, а координата -- это просто разность двух последовательных сумм. Я к тому, что коэффициенты непрерывны в любом случае.

В книжке выше не предполагается непрерывность -- наверняка дальше по тексту её докажут.

[mihaild]

Nemiroff в сообщении #1555901 писал(а):

В книжке выше не предполагается непрерывность -- наверняка дальше по тексту её докажут.

Да, доказывают. Меня смутило, что отдельно сказали "базис Шаудера - базис, в котором координаты непрерывны", и я не заметил, что на следующей же строчке написано "любой базис - базис Шаудера".

Nemiroff в сообщении #1555901 писал(а):

Но ведь каждая частичная сумма непрерывна

А есть очевидный способ это понять? В книге доказательство занимает больше страницы.

[Nemiroff]

mihaild в сообщении #1555903 писал(а):

А есть очевидный способ это понять? В книге доказательство занимает больше страницы.

Не знаю прям элементарного доказательства.