Точно так же и ваш оператор Nemiroff в сообщении #1555447
писал(а):
в
будет определен не везде, вне зависимости, откуда именно вы взяли набор
.
Что-то вы всё путаете.
В гильбертовом пространстве можно определить по крайней мере
три (даже не два) разных базиса.
Базис Гамеля -- набор векторов, что а) каждое конечное подмножество линейно независимо и б) все конечные линейные комбинации порождают все вектора пространства. Определение можно заменить на "каждый вектор пространства представляется конечной линейной комбинацией единственным образом". Базис Гамеля не требует скалярного произведения и даже нормы -- только линейности пространства.
Базис Шаудера --
последовательность векторов, что для любого вектора
из пространства существует единственное представление
. Поскольку здесь есть ряд, нужно объяснить, что такое равенство вектора бесконечной сумме -- здесь имеется в виду, что норма разности левой и правой части стремится к нулю. Поэтому нужна норма. Ряд здесь сходится по норме, и он может
сходиться условно.
Ортонормированный базис -- набор векторов, являющийся максимальным (по включению) ортонормированным множеством. Поскольку тут есть ортогональность, то необходимо наличие скалярного произведения.
Так вот, в любом гильбертовом пространстве (при наличии аксиомы выбора) существует базис Гамеля. Он никогда не бывает счётным (в смысле он либо конечный, либо сразу несчётный) -- тут используется полнота.
Базис Шаудера в гильбертовом пространстве существует тогда и только тогда, когда пространство сепарабельно.
Ортонормированный базис существует всегда (при наличии аксиомы выбора) и может быть или не быть счётным.
Если пространство сепарабельно, то любой ортонормированный базис автоматически является базисом Шаудера. Обратное конечно же неверно, более того, порядок векторов в ортонормированном базисе не имеет значения (в смысле сходимости), а в базисе Шаудера может иметь значение.
Если пространство несепарабельно, базиса Шаудера там быть не может, а ортонормированный базис там есть (несчётный).
Далее, базис Гамеля есть в любом (сепарабельном или несепарабельном) пространстве. Если пространство бесконечномерно, то базис Гамеля никогда не равен базису Шаудера (хотя бы потому что базис Гамеля несчётный при бесконечной размерности пространства).
Что более странно -- базис Гамеля (в бесконечномерном пространстве) никогда не является ортонормированным базисом, даже в несепарабельном случае (хотя они могут иметь одинаковую размерность).
--------------------------
В вашем случае я определил функционал на базисе Гамеля, что автоматически определяет его всюду -- просто по линейности. Здесь нет бесконечных сумм, нет пределов, не нужна даже норма. Вся проблема в определении -- в самом базисе Гамеля, его нельзя пощупать.