Линейный неограниченный функционал в ГП

[artempalkin]

Не совсем понимаю, как построить линейный неограниченный функционал в ГП.

То есть построить неограниченный функционал вроде не проблема, например в $l_2$: $f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k\cdot x_k$ (можно и проще $f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} x_k$).

Но тут возникает вопрос: будет ли это вообще функционал? Функционал отображает элементы в числа, а этот будет многие элементы отображать в бесконечность...

Будет ли это все же функционал в принципе? Можно ли привести пример более адекватного неограниченного функционала, которые не отображает элементы в бесконечность?

[thething]

Стандартно неограниченный функционал строится при помощи базиса Гамеля. Нужно взять счётное количество нормированных базисных векторов и определить функционал на них, как $f(e_n)=n$. На всех остальных элементах базиса определяем как угодно и продолжаем функционал на всё пространство по линейности.

[artempalkin]

thething в сообщении #1555414 писал(а):

Нужно взять счётное количество нормированных базисных векторов и определить функционал на них, как $f(e_n)=n$.

Я так понимаю, это в точности то же самое, что сделал я

artempalkin в сообщении #1555388 писал(а):

$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k\cdot x_k$

Но такой функционал, как я написал, далеко не все элементы отображает в числа. Это не является проблемой?

И я не совсем понял, а зачем привлекать здесь базис Гамеля?

-- 25.05.2022, 12:41 --

Я так полагаю, базис Гамеля привлекается в случае несепарабельности. Давайте для простоты обойдемся сепарабельным пространством. Существует базис Шаудера (полная ОНС)

[thething]

artempalkin в сообщении #1555415 писал(а):

Но такой функционал, как я написал, далеко не все элементы отображает в числа. Это не является проблемой?

Смотря что Вам надо. Если функционал не обязан быть определён на всём пространстве, то не является.

artempalkin в сообщении #1555415 писал(а):

И я не совсем понял, а зачем привлекать здесь базис Гамеля?

Потому что он есть в любом линейном пространстве и указанным способом можно построить всюду определённый неограниченный линейный функционал.

[artempalkin]

thething в сообщении #1555416 писал(а):

Потому что он есть в любом линейном пространстве и указанным способом можно построить всюду определённый неограниченный линейный функционал.

Да, согласен, строго говоря, без него не обойдешься. Либо привлекать великую и могучую теорему Хана-Банаха, но она тоже существенно опирается на аксиому выбора. Подозреваю, что верность ТХБ и существование базиса Гамеля равносильны.

thething в сообщении #1555416 писал(а):

Смотря что Вам надо. Если функционал не обязан быть определён на всём пространстве, то не является.

Ну я все-таки думал, что найдутся неограниченные функционалы, которые будут "нормальными" в том плане, что определенными везде. Но я начинаю подозревать, что ограниченные функционалы - это единственные всюду определенные функционалы в ГП (речь о линейных, конечно).

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1555418 писал(а):

Подозреваю, что верность ТХБ и существование базиса Гамеля равносильны

Нет, теорема Хана-Банаха слабее. Существование базиса Гамеля влечет аксиому выбора (в ZF), но есть модели ZF, в которых аксиома выбора не выполнена, а теорема Хана-Банаха - выполнена.

artempalkin в сообщении #1555418 писал(а):

Ну я все-таки думал, что найдутся неограниченные функционалы, которые будут "нормальными" в том плане, что определенными везде.

С аксиомой выбора - найдутся, на любом бесконечномерном пространстве.
Без выбора доказать это про произвольное бесконечномерное пространство нельзя (если существует аморфное множество, то существует бесконечномерное векторное пространство, любой линейный функционал на котором ограничен). Можно ли конкретно для гильбертова пространства построить всюду определенный неограниченный линейный функционал - не знаю.

[Nemiroff]

artempalkin в сообщении #1555415 писал(а):

И я не совсем понял, а зачем привлекать здесь базис Гамеля?

Это не то же самое, что предложили вы. Базис Гамеля обеспечивает представление вектора в виде конечной линейной комбинации, а не бесконечного ряда. Поэтому получается всюду определённый функционал.

Так же строится неограниченный всюду определённый оператор. Можно взять $Ae_n=ne_n$, а на остальных векторах базиса тождественно. Можно взять $Ae_n=\frac1ne_n$, а на остальных векторах базиса тождественно.

[artempalkin]

Nemiroff в сообщении #1555447 писал(а):

Это не то же самое, что предложили вы. Базис Гамеля обеспечивает представление вектора в виде конечной линейной комбинации, а не бесконечного ряда. Поэтому получается всюду определённый функционал.

Возможно, в каких-то других пространствах это что-то другое, но в $l_2$, как мне кажется, это то же самое, и точно так же не везде определено. Какая разница в $l_2$, откуда я возьму полную ортонормированную систему (или даже не полную), из базиса Гамеля или с потолка? Если я определю на ней функционал так, как указал thething, он будет работать так же, как мой (по крайней мере на подпространстве, натянутом на эту систему), а значит будет многие вектора отображать не в числа, а в бесконечность.

Точно так же и ваш оператор

Nemiroff в сообщении #1555447 писал(а):

$Ae_n=ne_n$

в $l_2$ будет определен не везде, вне зависимости, откуда именно вы взяли набор $e_n$.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1555473 писал(а):

но в $l_2$, как мне кажется, это то же самое, и точно так же не везде определено

Нет, базис Гамеля в любом полном бесконечномерном пространстве - это не то же, что базис Шаудера. Разница в том, что по базису Гамеля любой вектор раскладывается в конечную сумму, а по базису Шаудера - иногда в бесконечную.

artempalkin в сообщении #1555473 писал(а):

а значит будет многие вектора отображать не в числа, а в бесконечность

Какой, например?
Учтите, что, например, $f(\sum_n \frac{1}{n} e_n)$ совсем не обязано быть равно $\sum \frac{1}{n} f(e_n)$. Линейность требуется только для конечных сумм. Для непрерывных функционалов она будет и для бесконечных, но мы-то строим разрывный.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1555421 писал(а):

модели ZF

А что такое "модели ZF"? Типа, мы придумываем "числа", опираясь на ZF, задаем над ними "линейные пространства", там исследуем "функционалы" и проверяем, будет ли работать ТХБ?

mihaild в сообщении #1555421 писал(а):

Можно ли конкретно для гильбертова пространства построить всюду определенный неограниченный линейный функционал - не знаю.

Если с аксиомой выбора такие функционалы найдутся (доказательство что-то не обозреваю, но напрямую аксиомы теории множеств я особо не умею использовать, слабоват для этого), то, видимо, доказать, что они не существуют не получится. А вообще по ощущениям как будто это было бы возможно: доказать, что неограниченный ЛФ что-то да отобразит в бесконечность...

-- 25.05.2022, 21:20 --

mihaild в сообщении #1555474 писал(а):

Нет, базис Гамеля в любом полном бесконечномерном пространстве - это не то же, что базис Шаудера. Разница в том, что по базису Гамеля любой вектор раскладывается в конечную сумму, а по базису Шаудера - иногда в бесконечную.

Nemiroff в сообщении #1555447 писал(а):

Это не то же самое, что предложили вы. Базис Гамеля обеспечивает представление вектора в виде конечной линейной комбинации, а не бесконечного ряда. Поэтому получается всюду определённый функционал.

Это я знаю, но что это меняет, не совсем понимаю?

Хорошо, у меня на руках базис Гамеля. Я беру из него счетный набор ортонормированных векторов. Они, конечно, из базиса Гамеля, но они же счетны и ортогональны, а значит они являются базисом Шаудера для какого-то подпространства. Если я задам ЛФ так, как указывал thething, то в этом подпространстве этот функционал будет неограничен, а главное не всюду определен. А значит и продолжение его будет неограничено и не всюду определено, разве нет?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1555476 писал(а):

А что такое "модели ZF"?

Система множеств, удовлетворяющая аксиомам ZF. Естественно построить её в самой ZF не получится (т.к. ZF не умеет доказывать свою непротиворечивость).
Важная часть тут: если существует система множеств, в которой выполнен какой-то набор утверждений, но не выполнено еще какое-то, то это утверждение в из нашего набора не выводится. Собственно так и доказывается, что аксиома выбора в ZF не доказывается и не опровергается. Но это всё довольно сложно.

artempalkin в сообщении #1555476 писал(а):

Если с аксиомой выбора такие функционалы найдутся

Найдутся. В любом пространстве с хотя бы счетным базисом Гамеля найдется неограниченный линейный функционал, а с аксиомой выбора у любого бесконечномерного пространства есть базис Гамеля, причем он не менее чем счетен.

artempalkin в сообщении #1555476 писал(а):

то, видимо, доказать, что они не существуют не получится

Непосредственно из ZF - не получится. Но можно к ZF добавить что-то стандартное, противоречащее аксиоме выбора, но не самой ZF (например существование аморфного множества - бесконечного множества, любые два бесконечных подмножества которого пересекаются), то может стать возможным построить бесконечномерное пространство, все линейные функционалы на котором ограниченны. Но вот можно ли построить такое гильбертово пространство - не знаю.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1555474 писал(а):

Учтите, что, например, $f(\sum_n \frac{1}{n} e_n)$ совсем не обязано быть равно $\sum \frac{1}{n} f(e_n)$. Линейность требуется только для конечных сумм. Для непрерывных функционалов она будет и для бесконечных, но мы-то строим разрывный.

Да, мысль разумная... но какое тогда значение будет, например, у функционала типа $f(e_n)=n\cdot e_n$ на элементе $x=(1,1/2,1/3,...)\in l_2$? Получается, у нас нет разумной возможности его посчитать даже? UPD Я не функционал написал, а оператор... Должно быть $f(e_n)=n$

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1555480 писал(а):

но какое тогда значение будет, например, у функционала типа $f(e_n)=n\cdot e_n$ на элементе $x=(1,1/2,1/3,...)\in l_2$?

Да какое захотим. Например $0$. Или $42$.

[artempalkin]

mihaild
Вроде бы начинаю понимать...
Для понимания мне пригодилось бы вот что, хотя, наверное, может показаться странным: из базиса Гамеля можно выделить базис Шаудера (в случае, если базис Шаудера существует)?

[mihaild]

Сходу не придумал, вполне может оказаться сложным вопросом. А вам это зачем?