Обсуждение и разбор марафонских задач

[VAL]

===========ММ279===============
ММ279 (8 баллов)

Новые пятиугольные числа

Существует ли выпуклый многогранник, все $f$ граней которого являются пятиугольниками, если
а) $f=2022$;
б) $f=2023$;
в) $f=2024$?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова и Мераба Левиашвили.

Обсуждение

ММ279 как лакмусовая бумажка выявила некую проблему. То ли Марафон стал слишком длинным, то ли - ведущий слишком старым. А скорее всего, и то, и другое.
Около шести лет назад в XXII Марафонском конкурсе предлагалась простенькая задача MM214. При ее обобщении сразу два конкурсанта (Анатолий Казмерчук и Олег Полубасов) дали полное описание всех возможных количеств граней выпуклых многогранников, все грани которых пятиугольны. Загадочным образом ведущий ухитрился забыть об этом. Впрочем, не только ведущий. Если бы не бдительность Владимира Дорофеева, ММ279 могла бы сойти за оригинальную задачу.

Мераб Левиашвили (он не участвовал в конкурсе 2016 года) вслед за Олегом Полубасовым и Анатолием Казмерчуком описал все выпуклые многогранники с пятиугольными гранями. Его доказательство несуществования многогранника в 14-ю пятиугольными гранями существенно отличается от приведенных предшественниками. Аналогичный прием Мераб применил к доказательству отсутствия выпуклого семигранника с четырехугольными гранями (отсутствие такого многогранника отмечалось при разборе ММ211).

Награды

За решение задачи ММ279 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 8;
Виктор Филимоненков - 8;
Константин Шамсутдинов - 8;
Денис Овчинников - 8;
Владислав Франк - 8;
Владимир Дорофеев - 8.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла

[VAL]

================================
Вектором граней выпуклого многогранника $P$ назовем набор $[f_3, f_4, \dots, f_s]$, где $f_i$ – количество i-угольных граней $P$, а $s$ - наибольшее число сторон грани.

===========ММ280===============
ММ270 (13 баллов)

Каждой твари по … тройке

Какие векторы граней может иметь выпуклый многогранник, если в этих векторах нет чисел, отличных от 3 и 0?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова и Мераба Левиашвили.

Обсуждение

Заключительная задача традиционно планировалась как самая сложная в конкурсе и соответственно оценивалась дорого. Это не стало камнем преткновения для конкурсантов. Большинство из них уверенно справились с задачей. А Мераб Левиашвили не выдержал и прислал таки большое (несколько десятков страниц) обобщение. Не выдержал и ведущий и (вопреки новым правилам) поощрил Мераба дополнительными призовыми баллами. В свое оправдание скажу:
1) в новых правилах оставлена лазейка для такого поощрения;
2) Мераб и без того занял бы чистое первое место. Так что спортивного значения скромные (по сравнению с огромной проделанной работой) дополнительные баллы не имеют.

Отмечу, что в приведенном решении представлена лишь часть обобщения ММ280.
Вторую часть не публикую по следующим причинам:
1. Я пока только в самых общих чертах посмотрел труд Мераба. Откладывать разбор задачи до полного его изучения - значит подвешивать практически завершенный конкурс на неопределенный срок. Это ровно то, от чего я пытался уйти.
2. Надо бы проверить (например, спросить на MathOverFlow) является ли полученные результаты новыми. В случае положительного ответа я бы рекомендовал Мерабу опубликовать их.
3. Возможно, я использую обобщение (не обязательно целиком) в качестве темы исследовательской работы продвинутых старшеклассников. В таком случае наличие легко находимого готового решения - плохое подспорье.

Два слова о решении Константина (подход которого оформлению результатов - полная противоположность подходу Мераба).
Но интересно не это, а способ представления выпуклых многогранников. Все остальные участники традиционно используют классический подход - через теорему Штайница. В результате некоторые графы, представляющие требуемые многогранники выглядят ужасно. В отличие от картинок Константина.

Награды

За решение задачи ММ280 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 15;
Виктор Филимоненков - 13;
Константин Шамсутдинов - 13;
Денис Овчинников - 13;
Владислав Франк - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла

[VAL]

Итоги XXVIII конкурса в рамках Математического марафона.

Результаты камерного (на этот раз) мероприятия представлены в таблице.

Мои поздравления победителю, призерам и их достойным конкурентам!

Итоговое положение участников в XXVIII конкурса в рамках Математического марафона
\begin{tabular}{|l|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline №& Участники& 271 & 272 & 273 & 274 & 275 & 276 & 277 & 278 & 279 & 280 & \Sigma \\ \hline & \textit{Номинал задачи} & \textit{3} & \textit{4} & \textit{7} & \textit{6} & \textit{9} & \textit{7} & \textit{7} & \textit{6} & \textit{8} & \textit{13} & \textit{70} \\ \hline 1.& Мераб Левиашвили & 3 & 4 & 8 & 6 & 9 & 8 & 7 & 6 & 8 & 15 & 74 \\ \hline 2.& Виктор Филимоненков & 3 & 4 & 7 & 6 & 9 & 8 & 7 & 6 & 8 & 13 & 71 \\ \hline 3.& Константин Шамсутдинов & 3 & 4 & 6 & 4 & 9 & 8 & 7 & 6 & 8 & 13 & 68 \\ \hline 4.& Денис Овчинников & 3 & 4 & 7 & 5 & - & 7 & 7 & 6 & 8 & 13 & 60 \\ \hline 5.& Владислав Франк & 3 & 4 & 4 & 6 & 9 & 7 & 7 & 3 & 8 & 7 & 58 \\ \hline 6.& Владимир Дорофеев & 3 & 4 & 5 & - & 7 & - & 7 & - & 8 & - & 34 \\ \hline 7.& Василий Дзюбенко & 3 & 4 & 7 & - & - & - & - & - & - & - & 14 \\ \hline \end{tabular}

[VAL]

Продолжаю подведение итогов прошедшего конкурса.
Его влияние положение участников по сумме всех конкурсов оказалось не слишком значительным.
В частности, состав топ 25 не изменился. Но внутри лидирующей группы некоторые изменения.
Они отражены в прилагаемой таблице.

Положение лидирующей группы после 28-го конкурса Марафона
\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|c|} \hline Участники \ \ Туры$\to$ &1-16&17&18&18&20&21&22&23&24&25&26&27&28&\Sigma\\ \hline 1. А.Казмерчук &470&51&73&79&69&82&85&79&85&81&80&84&-&1318\\ \hline 2. В.Филимоненков &419&46&71&53&62&23&36&53&71&67&64&63&71&1098\\ \hline 3. О.Полубасов &332&56&83&97&73&79&87&80&-&-&52&83&-&1032\\ \hline 4. В.Франк &411&-&-&-&-&-&69&37&52&62&72&45&58&806\\ \hline 5. С.Половинкин &315&41&74&60&63&36&2&-&-&-&-&-&-&591\\ \hline 6. А.Волошин &351&50&76&3&-&-&-&-&-&-&-&-&-&480\\ \hline 7. К.Шамсутдинов &-&-&-&-&-&-&-&-&49&77&71&66&68&331\\ \hline 8. Н.Дерюгин &203&18&54&21&4&-&-&-&-&-&-&-&-&300\\ \hline 9. Д.Пашуткин &172&3&-&45&54&-&25&-&-&-&-&-&-&293\\ \hline 10. М.Левиашвили &-&-&-&-&-&-&-&-&-&77&-&92&74&243\\ \hline 11. E.Гужавин &56&21&34&17&-&18&-&39&38&-&-&-&-&223\\ \hline 12. В.Дорофеев &-&-&-&9&21&10&18&36&18&28&7&37&34&218\\ \hline 13. В. Колыбасова &-&-&-&10&57&17&-&54&40&27&-&4&-&209\\ \hline 14. Д.Овчинников &-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&68&59&60&187\\ \hline 15. В.Дзюбенко &-&-&-&-&-&34&25&2&17&-&9&56&14&157\\ \hline 16. А.Халявин &115&-&-&14&-&-&-&-&-&-&-&-&-&129\\ \hline 17. А.Богданов &112&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&112\\ \hline 18. К.Веденский &85&-&23&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&108\\ \hline 19. А.Никонов &-&-&-&38&40&2&9&-&-&15&-&-&-&104\\ \hline 20. А.Извалов &46&-&34&-&-&15&-&-&-&-&-&-&-&95\\ \hline 21. В.Чубанов &-&-&-&-&-&-&35&-&58&-&-&-&-&93\\ \hline 22. И.Козначеев &88&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&88\\ \hline 23. К.Кноп &75&-&-&-&10&-&-&-&-&-&-&-&-&85\\ \hline 24. Б.Бух &81&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&81\\ \hline 25. М.Алексеев &80&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&80\\ \hline \end{tabular}

[vlad239]

Будет ли в этом году тур марафона?

[VAL]

vlad239 в сообщении #1576221 писал(а):

Будет ли в этом году тур марафона?

Меня тоже это интересует. Но пока я не готов ответить на этот вопрос.