2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... 49  След.
 
 
Сообщение03.11.2008, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Семен в сообщении #155480 писал(а):
Если $ d=2 $, то в этом подобном ряду $ m_2_p_r=2*d =2*2=4$.

Откуда??? ведь уже $X\ne Y$!
Семен в сообщении #155480 писал(а):
Если, к примеру, $ d=1.49… $ - иррациональное число, то $ m_2_p_r=2*1.49…

Oпять, откуда?
Семен в сообщении #155480 писал(а):
27.10.08г. я отправил док-во для $ n=3. Прилагаю его. Убедительно прошу сообщить, конкретно, Ваши вопросы по этому док-ву.

Семен в сообщении #155480 писал(а):
Поэтому разница, между соответствующим натуральным численным значением подобного ряда и
$ m_3_p_r_a $, будет ещё больше, чем разница между соответствующим натуральным численным значением подобного ряда и $ m_3_p_r $. Т.е. $ m_3_p_r_a $, будет иррациональным числом.

Вот, с этого места непонятно совершенно. Что такое
''соответствующее натуральное численное значение подобного ряда''??
В третий раз спрашиваю.

 Профиль  
                  
 
 Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма
Сообщение03.11.2008, 18:28 


02/09/07
277
shwedka писал(а):
Семен в сообщении #155480 писал(а):

Если $ d=2 $, то в этом подобном ряду $ m_2_p_r=2*d $.

shwedka писал(а):
Откуда??? ведь уже $ X \ne Y $!

Да, не зависит $ m_2_p_r=2*d $ от того $X=Y $ или $ X \ne Y $, т.к. $ m_2_p_r= m_2*d $.
А $ m_2=2  $, т.к. в БР $ m_2=(Z_2-X)= (k^2+1) - (k^2-1) = 2 $.

shwedka писал(а):
Семен в сообщении #155480 писал(а):

Если, к примеру, $ d=1.49… $ - иррациональное число, то $ m_2_p_r=2*1.49…  $.

shwedka писал(а):
Oпять, откуда?


Т.к. $ m_2_p_r= m_2*d $, то $ m_2_p_r=2*1.49…  $.
$ m_2_p_r $ зависит только от величины $ d $, безразлично
рациональное это число или иррациональное число. Естесственно и от $ m_2 $, которое всегда равно 2.

shwedka писал(а):
Семен в сообщении #155480 писал(а):

27.10.08г. я отправил док-во для $ n=3. Прилагаю его. Убедительно прошу сообщить, конкретно, Ваши вопросы по этому док-ву.


Семен в сообщении #155480 писал(а): Поэтому разница, между соответствующим натуральным численным значением подобного ряда и $   m_3_p_r_a  $, будет ещё больше, чем разница между соответствующим натуральным численным значением подобного ряда и $ m_3_p_r  $. Т.е. $ m_3_p_r_a  $, будет иррациональным числом.

shwedka писал(а):
Вот, с этого места непонятно совершенно. Что такое
''соответствующее натуральное численное значение подобного ряда''??
В третий раз спрашиваю.

Полагаю мы выяснили, что в зависимости от численного значения коэффициента подобного ряда $ d $, этому ПР соответствует определённое численное значение
$ m_2_p_r= m_2*d $.
Пример 1-ый: $ d =7 $. Тогда соответствующее этому подобному ряду численное значение $ m_2_p_r= m_2*d =2*7=14 $ - натуральное число. В соседнем ПР, где $ d =6 $, $ m_2_p_r= m_2*d =2*6=12 $, а это значит, что в ПР, где $ d =7 $, есть ещё одно, соответствующее этому подобному ряду, натуральное численное значение $ m_n_p_r= 13 $.
Пример 2-ой: $ d =6.87… $. Тогда соответствующее этому подобному ряду численное значение $ m_2_p_r= m_2*d =2*6.87=13.74… $ – иррациональное число. В соседнем ПР, где $ d =6 $, $ m_2_p_r= m_2*d =2*6=12 $, а это значит, что в ПР, где $ d =6.87 $, а $ m_2_p_r= m_2*d =2*6.87=13.74… $, есть соответствующее этому подобному ряду, натуральное численное значение $ m_n_p_r= 13 $. Т.е. в промежутке между $ m_2_p_r=12 $ предыдущего ПР и $ m_2_p_r=13.74... $ последующего ПР.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.11.2008, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
для $n=2$ Ваши определения понятны. .

Семен в сообщении #155610 писал(а):
соответствующее этому подобному ряду, натуральное численное значение $ m_n_p_r= 13 $
А это уже непонятно.
а теперь, что это такое для $n=3$?

вы ООООчень подробно расписываете случай $X=Y$, Не нужно повторять!!
а как только от этого отходите, переходите на скороговорку.
В высказывании

shwedka в сообщении #155501 писал(а):
Поэтому разница, между соответствующим натуральным численным значением подобного ряда и
$ m_3_p_r_a $, будет ещё больше, чем разница между соответствующим натуральным численным значением подобного ряда и $ m_3_p_r $. Т.е. $ m_3_p_r_a $, будет иррациональным числом.

Во-первых, не определено понятие 'натуральным численным значением подобного ряда', во-вторых, утверждение не доказано, и ваше 'поэтому' не объяснено никак. а в-третьих , не объяснено как из предыдущего получается 'т.е. $ m_3_p_r_a $, будет иррациональным числом.' Если какое-то число меньше или больше иррационального, то оно не обязательно иррационально. Попробуйте разобраться, разбить на кусочки сами и написать в порядке . Утверждение-доказательство, утверждение-доказательство...
Только не надо повторять случай $X=Y$

 Профиль  
                  
 
 Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма
Сообщение04.11.2008, 12:00 


02/09/07
277
shwedka писал(а):
для $  n=2 $ Ваши определения понятны.

shwedka писал(а):
Семен в сообщении #155610 писал(а):
соответствующее этому подобному ряду, натуральное численное значение $ m_n_p_r= 13 $.

shwedka писал(а):
А это уже непонятно.


В примерах 1-ом и 2-ом рассматривались два ПР: с $ d =7 $ - натуральное число и с $ d =6.87… $ – иррациональное число.
Они оба равноправны. Но в 1-ом случае $ m_2_p_r= m_2*d =14 $, а во
2-ом случае $ m_2_p_r= 13.74… $. В обоих случаях между «нижележащим» ПР с $ d =6 $, в котором $ m_2_p_r=12  $, находится лишь одно натуральное число $ 13 $. В принципе, это число может относиться к любому $ m_n_p_r $. Естественно, что при других $ d  $, натуральное число будет другим. Наша задача состоит в том, чтобы доказать, что ни одно $ m_n_p_r $ не может быть натуральным числом при $ n=>3 $ - натуральное число.

shwedka писал(а):

а теперь, что это такое для $  n=3 $?

Объясню на примере: $ X_p_r=74,  Y_p_r=63 $. Тогда: $ m_2_p_r=23.185… $, $ d =11.59… $, $ m_3_p_r=12.85… $. Предположим, что мы ошиблись и $ m_3_p_r=13 $. Т.к. $ d =11.59… $, то в «соседнем полном» ПР,
$ d =11 $, а $ m_2_p_r=22 $.
Т.е. в ПР, где $ X_p_r=74,  Y_p_r=63 $, а $ d =11.59… $, есть только одно натуральное число $ m_n_p_r= 23 $, но это не $ m_3_p_r $, которое, будь оно равно 12.85…, будь оно равно 13, не может быть натуральным числом ПР , в котором ПР$ X_p_r=74,  Y_p_r=63 $, а $ d =11.59… $. Именно на принципе, что число $ m_3_p_r $ значительно «отстаёт» от натурального числа «своего» ПР, построено док-во.
Эти примеры представлены для разъяснения, а не док-ва.
На последнее замечание ответ дам позднее, т.к. сейчас нет времени. Извините.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.11.2008, 12:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Семен в сообщении #155757 писал(а):
Именно на принципе, что число $ m_3_p_r $ значительно «отстаёт» от натурального числа «своего» ПР, построено док-во.

вот доказательство-то и не наблюдается. И формулировки-то нет. Только пример.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.11.2008, 19:39 


03/10/06
826
Семён, а может нужно сделать так: в каждом очередном сообщении даёте не более одного определения и делаете минимум одно утверждение. Если утверждение требует доказательства, даёте и его. Если оппоненты соглашаются с тем, что вы написали в сообщении - идёте дальше. Иначе наверное бесконечно будет длиться ваш диалог с оппонентами.

 Профиль  
                  
 
 Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма
Сообщение11.11.2008, 09:43 


02/09/07
277
shwedka писал(а):
Семен в сообщении #155757 писал(а):

Именно на принципе, что число $ m_3_p_r $. значительно «отстаёт» от натурального числа «своего» ПР, построено док-во.

shwedka писал(а):

вот доказательство-то и не наблюдается. И формулировки-то нет. Только пример.

Я Вас предупредил, что пример служит не док-вом, а даётся для разъяснения.
Желая понятней объяснить, что я имею в виду под натуральными численными значениями
$ m_n $ в базовом ряду и $ m_n_p_r $ в подобных рядах, прилагаю рисунок3, где показана схема блока подобных рядов, в который входят: БР ($ d=1 $) , ПР ($ d=2 $), ПР ($ d=2.55… $) – иррациональное число.

Рисунок 3.
http://img357.**invalid link**/img357/1853/zdr3dl7.gif


Пояснение к рис. 3.
В БР, где (d=1): $  Z_2 =  CB =X+m_2 $, $ m_2 =2 $. $ Z_3 =C3=X+m_3 $, $ m_3  $ – иррациональное число. Т.к. в БР $ 0 <m_n = <2 $, то, без сомнения, в этих пределах есть $ m_n=1 $ – натуральное число. Назовём его условно $ m_ (dr)_n $. $ Z_(dr)_n=(X +  m_(dr)_n  $ и расположен между элементами БР $  Z_2  $ и $ Z_3 $.
(Из-за ограниченности места на рис.3 – не показан).
В ПР, где (d=2): $ Z_2 _p_r= CB_1=CB+BB_1=(Z_2+Z_2 )=(X+m_2) +(X+m_2) $ , $ m_2 _p_r =4 $. К базовому ряду прибавляется $ X $, а затем $ m_2 $. Верхним пределом этого ПР является $ m_2_p_r =4 $, а нижним пределом - $ m_n_p_r >2 $. Т.е., в этих пределах, есть $ m_n_p_r=3 $ – натуральное число. Назовём его условно $ m_ (dr)_n_p_r $.
$ Z_(dr)_n_p_r=(2*X +  m_(dr)_n_p_r  $ и расположен между элементами ПР $  Z_2_p_r $ и $ Z_3_p_r  $. (Из-за ограниченности места на рис.3 – не показан). Здесь, $ m_ (dr)_n_p_r = 3 $. В этом ПР $ Z_3 _p_r= C3_1=C3+33_1=(Z_3+Z_3 )=(X+m_3) +(X+m_3) $ , $ m_3_p_r =2* m_3 $ – иррациональное число.
В ПР, где (d=2.55…):
$ Z_2 _p_r= CB_2=CB+BB_1+B_1B_2=(Z_2+Z_2+0.55…* Z_2 )$ = $(X+m_2) +(X+m_2)+0.55…*(X+m_2) $ , $ m_2 _p_r =5.1… $. К предыдущему подобному ряду прибавляется $0.55…* X $, а затем $ m_2*0.55… $. Верхним пределом этого ПР является $ m_2_p_r =5.1… $, а нижним пределом - $ m_n_p_r >4 $. Т.е., в этих пределах, есть $ m_n_p_r=5 $ – натуральное число. Как и в предыдущем ПР будем называть его условно $ m_ (dr)_n_p_r $.
На рис.3, $ Z_(dr)_n_p_r  $=$ CD_2 =2*Z_2+5=2*(X+m_2)+5 $, расположен между элементами ПР $  Z_2_p_r $ и $ Z_3_p_r  $. Здесь, $ m_ (dr)_n_p_r = 5 $. В этом ПР $ Z_3 _p_r= C3_2=C3+33_1+3_13_2=(Z_3+Z_3 +0.55...*Z_3)=$(X+m_3) +(X+m_3) +0.55...*(X+m_3)$ , $ m_3_p_r =2.55...* m_3 $ – иррациональное число.
Это сообщение не является док-вом иррациональности числа $ Z_3_p_r  $ при
$ d $ – иррациональном числе. Надеюсь, что это сообщение поможет понять, что же это такое - натуральные числа $ m_n_p_r  $ в подобных рядах, при рациональных и иррациональных числах $ d $.
Примечания: 1. Рис. 3 будет понятней, если Вы ознакомитесь с рис.1 и его описанием в моём сообщении от 29.11.07г.
2. Если у Вас не будет вопросов по этому сообщению, то представлю на рассмотрение док-во иррациональности числа $ Z_3_p_r  $, при $ d $ – иррациональном числе.
3. В БР, при $  X=Y $, $  m_3=1.255… $. Это число, в БР, является максимальным для $  m_3 $, при любых сочетаниях $  X>Y  $.
Уже в ПР, где $ d=2 $, $ m_n_p_r =2*1.255…=2.51… $ меньше $ m_ (dr)_n_p_r = 3 $. Т.е. $  m_3 $ не может быть натуральным числом в ПР, при, $ d=2 $. А при $ d>2 $, тем более. Это, для сведения.

Добавлено спустя 28 минут 14 секунд:

yk2ru писал(а):
Семён, а может нужно сделать так: в каждом очередном сообщении даёте не более одного определения и делаете минимум одно утверждение. Если утверждение требует доказательства, даёте и его. Если оппоненты соглашаются с тем, что вы написали в сообщении - идёте дальше. Иначе наверное бесконечно будет длиться ваш диалог с оппонентами.

Абсолютно с Вами согласен. Правда это, к сожалению, не всегда выполнимо, т.к. мне задают в одном сообщении несколько вопросов. Если у Вас есть конкретные замечания по док-ву - сообщите. Если смогу, то отвечу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2008, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Не понятно ничуть. Вы вводите новые понятия, верхний, нижний предел подобного ряда - не определив их. Непонятно, рассматриваете Вы
случай равных или неравных чисел Х,У.

Определяйте сразу для неравных!!! для равных -это частный случай!
Семен в сообщении #157316 писал(а):
Т.е., в этих пределах, есть $ m_n_p_r=3 $ – натуральное число.

А если d огромное число, 1000000$+\sqrt(777)$ и 'в этих пределах' (что бы это ни означало) есть 700 целых чисел, то кто из них 'натуральное..
Семен в сообщении #157316 писал(а):
под натуральными численными значениями
$ m_n $ в базовом ряду и $ m_n_p_r $ в подобных рядах, прилагаю рисунок


Задано много вопросов. Если хочется, думайте надо всеми. Но, опять же, если захочется,
начните с определения, что такое нижняя и верхняя граница подобного ряда. И не нужно примеров с 2.55
Разберите случай огромного d, чтобы всем было понятно.

И не меняйте слов. Было 'натуральное значение' -- и сплыло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма
Сообщение12.11.2008, 00:40 


03/10/06
826
Семен писал(а):
yk2ru писал(а):
Семён, а может нужно сделать так: в каждом очередном сообщении даёте не более одного определения и делаете минимум одно утверждение. Если утверждение требует доказательства, даёте и его. Если оппоненты соглашаются с тем, что вы написали в сообщении - идёте дальше. Иначе наверное бесконечно будет длиться ваш диалог с оппонентами.

Абсолютно с Вами согласен. Правда это, к сожалению, не всегда выполнимо, т.к. мне задают в одном сообщении несколько вопросов. Если у Вас есть конкретные замечания по док-ву - сообщите. Если смогу, то отвечу.

Я имел ввиду, чтобы вы начали сначала доказательство, выдавая его небольшими порциям - одно определение, одно утверждение, доказательство утверждения, если оно необходимо. Не более например 20 строк на сообщение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2008, 01:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
yk2ru
Может быть, возьмете на себя работу с Семен ом. Он мне надоел изрядно, а толку никакого!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2008, 08:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
shwedka в сообщении #157500 писал(а):
Может быть, возьмете на себя работу с Семен ом. Он мне надоел изрядно, а толку никакого!
А Вы, shwedka, что - надеялись, что, немного поработав с Семен ом, сможете придать его доказательству законченный вид и получить безупречное док-во? :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2008, 09:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Brukvalub
Толк мог бы быть в том,что он бросил бы эти глупости и занялся бы полезным делом

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2008, 09:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Уверен, что Ваша, shwedka, мечта несбыточна.
Посудите сами - Семен написал чушь несусветную, многие просто посмеялись, а Вы начали помогать ему осознать и улучшить док-во своими наводящими и уточняющими вопросами. Я бы тоже на его месте подумал: "Раз кто-то вникает в док-во и пытается его улучшить, то это означает, что мое док-во правильно. Просто оно неуклюже написано, но сейчас мне помогут толково все изложить, и я стану автором док-ва теоремы Ферма с помощью бинома Ньютона, двух умножений и трех сложений!!! Ура!" :D

 Профиль  
                  
 
 Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма
Сообщение12.11.2008, 10:24 


02/09/07
277
shwedka писал(а):
Не понятно ничуть. Вы вводите новые понятия, верхний, нижний предел подобного ряда - не определив их. Начните с определения, что такое нижняя и верхняя граница подобного ряда.

В базовом ряду - ($ d=1 $): $ 0<m_n <=2 $. Здесь нижняя граница - $ m_n =0 $ (исключительно), а верхняя граница $ m_2=2 $ (включительно). Здесь, $ m_(dr)_n=1 $ – натуральное число этого ряда.
В подобном ряду - ($ d=2 $): $ 2<m_n_p_r <=4 $. Здесь нижняя граница - $ m_n_p_r =2 $ (исключительно), а верхняя граница $ m_2_p_r =4 $ (включительно). Здесь, $ m_(dr)_n_p_r=3 $ – натуральное число этого ряда.
В подобном ряду - ($ d=3 $): $ 4<m_n_p_r <=6 $. Здесь нижняя граница - $ m_n_p_r =4 $ (исключительно), а верхняя граница $ m_2_p_r =6 $ (включительно). Здесь, $ m_(dr)_n_p_r=5 $ – натуральное число этого ряда.
В каждом последующем (полном) подобном ряду нижняя и верхняя границы увеличивается на 2.
В подобном ряду - ($ d $) – иррациональное число: нижняя граница - $ m_2_p_r  $ предыдущего подобного ряда (исключительно), а верхняя граница $ m_2_p_r =2* d $ (включительно). Между этими границами может быть, а может и не быть
$ m_(dr)_n_p_r $ – натуральное число этого ряда. Это зависит от $ d $.
Если число $ m_ n _p_r  $, при увеличении $ d $ и соответственно $ Z_n_p_r,  X_p_r $, будет меньше нижнего предела соответствующего подобного ряда, то такое $ m_ n _p_r  $ не будет ни рациональным, ни натуральным числом этого подобного ряда.
shwedka писал(а):
Непонятно, рассматриваете Вы
случай равных или неравных чисел Х,У.

Определяйте сразу для неравных!!! для равных -это частный случай!

Определяя для равных, сравнивая их с неравными, я представлю через несколько дней, на рассмотрение док-во для $ m_ 3 _p_r  $.

shwedka писал(а):
Семен в сообщении #157316 писал(а):

Т.е., в этих пределах, есть $ m_ n _p_r =3 $– натуральное число.

А если $ d $ огромное число, 1000000 $ +  $\sqrt[]{777}$ $, и 'в этих пределах' (что бы это ни означало) есть 700 целых чисел, то кто из них 'натуральное. Разберите случай огромного d, чтобы всем было понятно.

Выше, по-моему, я ответил на этот вопрос. Дополнительно сообщаю: «Чем» больше$ d $, тем меньше вероятность, а точнее – совсем нет вероятности, что $ m_ n _p_r  $ будет рациональным, или натуральным числом такого подобного ряда.



shwedka писал(а):
Семен в сообщении #157316 писал(а):

под натуральными численными значениями
$ m_ n _p_r  $ в базовом ряду и $ m_ n _p_r  $ в подобных рядах, прилагаю рисунок

Очень сожалею, что Вы внимательно не рассмотрели рис.1 и рис.3.

shwedka писал(а):
Задано много вопросов. Если хочется, думайте надо всеми. Но, опять же, если захочется,
И не нужно примеров с 2.55

Без комментариев.


shwedka писал(а):
И не меняйте слов. Было 'натуральное значение' -- и сплыло.

Под «натуральным значением» я имел в виду – натуральное число.

shwedka писал(а):
yk2ru
Может быть, возьмете на себя работу с Семен ом. Он мне надоел изрядно, а толку никакого!

Без комментариев.


yk2ru писал(а):
Я имел ввиду, чтобы вы начали сначала доказательство, выдавая его небольшими порциям - одно определение, одно утверждение, доказательство утверждения, если оно необходимо. Не более например 20 строк на сообщение.

Выше я уже сообщил, что представлю через несколько дней, на рассмотрение док-во для $ m_ 3 _p_r  $.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2008, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Семен в сообщении #157553 писал(а):
В базовом ряду - ($ d=1 $): $ 0<m_n <=2 $. Здесь нижняя граница - $ m_n =0 $ (исключительно), а верхняя граница $ m_2=2 $ (включительно). Здесь, $ m_(dr)_n=1 $ – натуральное число этого ряда.
В подобном ряду - ($ d=2 $): $ 2<m_n_p_r <=4 $. Здесь нижняя граница - $ m_n_p_r =2 $ (исключительно), а верхняя граница $ m_2_p_r =4 $ (включительно). Здесь, $ m_(dr)_n_p_r=3 $ – натуральное число этого ряда.

n=3. и только . Никаких других не надо.
И почему при переходе от d=1 к d=2 интервал становится не (0,4), а (2,4)? вроде, умножаться должен
И что такое предыдущее число к иррациональному.И как понимать разговоры о вероятности?

Не надо на эти вопросы отвечать. Это лишь демонстрация того, что текст абсолютно невнятный.

Нет, мне надоело в Вашем лепете копаться, уже люди смеются.
Пусть кто-нибудь другой возится. Я, может вернусь, если, как yk2ru просит, будут четкие определения, формулировки, доказательства, малыми дозами.

Картинка на заменяет определения. Пример не заменяет ни определения, ни доказательства.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 728 ]  На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... 49  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group