Число делителей необратимого элемента

[sour]

Может ли у необратимого элемента кольца главных идеалов быть бесконечно много делителей?

Я заметил, что в $\mathbb{Q}$ у всякого элемента есть бесконечно много делителей, а в $\mathbb{Z}$ у всякого элемента конечное число делителей. При этом в $\mathbb{Q}$ нет неприводимых элементов, а в $\mathbb{Z}$ есть. Связано ли как-то существование неприводимых элементов в кольце с числом делителей у его произвольного элемента?

[mihaild]

Так возьмите произведение $\mathbb Z$ и $\mathbb Q$.

[nnosipov]

sour в сообщении #1554714 писал(а):

Может ли у необратимого элемента кольца главных идеалов быть бесконечно много делителей?

Может, если не обращать внимание на ассоциированность (ибо группа обратимых элементов --- единиц кольца --- может быть бесконечной).

-- Пн май 16, 2022 22:30:29 --

sour в сообщении #1554714 писал(а):

Я заметил, что в $\mathbb{Q}$

Какой смысл, говоря о делителях, рассматривать поля? В поле все делится на все.

[vpb]

Ежели внимательно перечитать в 3-м томе Кострикина главу 4, параграф 2, особо его пункт 3, ответ станет очевиден ...

-- 16.05.2022, 20:56 --

Хотя да, это такое место, на котором люди иногда ловятся