2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение15.03.2022, 18:04 


14/02/20
863
Задача 56.16 задачник Ким
Доказать, что если $[A,B]=A$, то оператор $A$ - вырожденный.

Я доказал, но доказательство неинтуитивное $$AB-BA=A$$ $$A(B-E)=BA$$ предположим, что $A$ невырожден, тогда $$B-E=A^{-1}BA,$$ но этого не может быть, т.к. справа след равен $\operatorname{tr} B$, а слева $\operatorname{tr} B-n$.

Тут два вопроса. Есть ли какое-то менее "случайное" доказательство этого факта? Есть ли какой-то фактический пример таких операторов (матриц), что $[A,B]=A$, кроме самого вырожденного $A=0$? А то получится забавно: в таком случае оператор должен быть вырожден, но фактически такой случай никогда не доставляется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение15.03.2022, 18:26 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Наверно $A$, кроме нулевой матрицы, ещё может быть жордановой клеткой с нулями на диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение15.03.2022, 20:23 
Заслуженный участник


20/04/10
1878
$A$ понижающий оператор, действуя им на собственный вектор оператора $B$, получим вновь собственный вектор оператора $B$ с меньшим на единицу собственным значением. В КМ примеры есть, смотреть осциллятор.

Пусть $B=AC$ и $[A,C]=E$, тогда получим нужный коммутатор. Кстати, про конечномерность в условии не сказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение15.03.2022, 22:11 
Заслуженный участник


18/09/21
1756
Например $$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}$$ и $$B=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение15.03.2022, 22:57 
Заслуженный участник


20/04/10
1878
Да, если у $B$ собственные значения ограничены снизу, то у оператора $A$ есть собственный вектор с нулевым сз, это видно из примера выше.
Можно и так: $B=\sum\limits_{i=1}^{n} i|i\rangle\langle i|$,
$A=\sum\limits_{j=2}^{n} |j-1\rangle\langle j|$, базис ортонормированный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение16.05.2022, 09:14 


14/02/20
863
lel0lel в сообщении #1550515 писал(а):
Кстати, про конечномерность в условии не сказано.

Это задачник по линалу, везде подразумевается, конечно, конечномерный случай.
lel0lel в сообщении #1550515 писал(а):
$[A,C]=E$

Вы подразумеваете бесконечномерный случай? потому что в конечномерном такое невозможно
lel0lel в сообщении #1550515 писал(а):
$A$ понижающий оператор

А для, опять же, конечномерных пр-в понятие понижающих операторов вводится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение16.05.2022, 09:34 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
artempalkin в сообщении #1550502 писал(а):
Есть ли какое-то менее "случайное" доказательство этого факта?
Ну, просто заметить, что матрицы $B$ и $B-E$ не могут быть подобными, что очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение16.05.2022, 11:09 


14/02/20
863
nnosipov в сообщении #1554708 писал(а):
Ну, просто заметить, что матрицы $B$ и $B-E$ не могут быть подобными, что очевидно.

Ну это по сути то, что я сделал, после некоторых преобразований... Но мне это доказательство показалось "случайным": я сделал какие-то преобразования и вдруг что-то заметил

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение16.05.2022, 11:20 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
А как надо? ))

Очень хорошее доказательство, куда уж проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение16.05.2022, 20:15 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Докажите, что $A$ нильпотентен (по крайней мере если поле нулевой характеристики).

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение22.05.2022, 13:10 
Заслуженный участник


14/10/14
1220
Slav-27 в сообщении #1554749 писал(а):
Докажите, что $A$ нильпотентен (по крайней мере если поле нулевой характеристики).
Например, так: из $A=[B,A]$ следует $A^n=[A^{n-1}B,A]$, поэтому $\operatorname{tr}A^n=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group