2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение15.03.2022, 18:04 


14/02/20
832
Задача 56.16 задачник Ким
Доказать, что если $[A,B]=A$, то оператор $A$ - вырожденный.

Я доказал, но доказательство неинтуитивное $$AB-BA=A$$ $$A(B-E)=BA$$ предположим, что $A$ невырожден, тогда $$B-E=A^{-1}BA,$$ но этого не может быть, т.к. справа след равен $\operatorname{tr} B$, а слева $\operatorname{tr} B-n$.

Тут два вопроса. Есть ли какое-то менее "случайное" доказательство этого факта? Есть ли какой-то фактический пример таких операторов (матриц), что $[A,B]=A$, кроме самого вырожденного $A=0$? А то получится забавно: в таком случае оператор должен быть вырожден, но фактически такой случай никогда не доставляется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение15.03.2022, 18:26 


18/09/21
1676
Наверно $A$, кроме нулевой матрицы, ещё может быть жордановой клеткой с нулями на диагонали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение15.03.2022, 20:23 


20/04/10
1776
$A$ понижающий оператор, действуя им на собственный вектор оператора $B$, получим вновь собственный вектор оператора $B$ с меньшим на единицу собственным значением. В КМ примеры есть, смотреть осциллятор.

Пусть $B=AC$ и $[A,C]=E$, тогда получим нужный коммутатор. Кстати, про конечномерность в условии не сказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение15.03.2022, 22:11 


18/09/21
1676
Например $$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}$$ и $$B=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение15.03.2022, 22:57 


20/04/10
1776
Да, если у $B$ собственные значения ограничены снизу, то у оператора $A$ есть собственный вектор с нулевым сз, это видно из примера выше.
Можно и так: $B=\sum\limits_{i=1}^{n} i|i\rangle\langle i|$,
$A=\sum\limits_{j=2}^{n} |j-1\rangle\langle j|$, базис ортонормированный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение16.05.2022, 09:14 


14/02/20
832
lel0lel в сообщении #1550515 писал(а):
Кстати, про конечномерность в условии не сказано.

Это задачник по линалу, везде подразумевается, конечно, конечномерный случай.
lel0lel в сообщении #1550515 писал(а):
$[A,C]=E$

Вы подразумеваете бесконечномерный случай? потому что в конечномерном такое невозможно
lel0lel в сообщении #1550515 писал(а):
$A$ понижающий оператор

А для, опять же, конечномерных пр-в понятие понижающих операторов вводится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение16.05.2022, 09:34 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
artempalkin в сообщении #1550502 писал(а):
Есть ли какое-то менее "случайное" доказательство этого факта?
Ну, просто заметить, что матрицы $B$ и $B-E$ не могут быть подобными, что очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение16.05.2022, 11:09 


14/02/20
832
nnosipov в сообщении #1554708 писал(а):
Ну, просто заметить, что матрицы $B$ и $B-E$ не могут быть подобными, что очевидно.

Ну это по сути то, что я сделал, после некоторых преобразований... Но мне это доказательство показалось "случайным": я сделал какие-то преобразования и вдруг что-то заметил

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение16.05.2022, 11:20 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
А как надо? ))

Очень хорошее доказательство, куда уж проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение16.05.2022, 20:15 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Докажите, что $A$ нильпотентен (по крайней мере если поле нулевой характеристики).

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор операторов равен самому оператору
Сообщение22.05.2022, 13:10 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Slav-27 в сообщении #1554749 писал(а):
Докажите, что $A$ нильпотентен (по крайней мере если поле нулевой характеристики).
Например, так: из $A=[B,A]$ следует $A^n=[A^{n-1}B,A]$, поэтому $\operatorname{tr}A^n=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group