Элемент пр-ва Соболева

[thething]

demolishka
Это же как раз и даёт описание класса абсолютно непрерывных функций, с производной, лежащей в $L_2$?

[mihaild]

novichok2018, верхний индекс - число производных, нижний - в какой степени они должны быть интегрируемы. $H^k = W_2^k$ (по определению) - т.е. $H^1$ - есть слабая производная в $L_2$, и функция равна интегралу от своей производной. $W_1^1$ - то же самое, только производная должна быть в $L_1$ (а туда она попадет автоматически).
А когда мы накладываем ограничение на саму функцию, но не на производную - это вообще не пространство Соболева.

[novichok2018]

В учебнике Треногина со стр. 93 при определении аш 1 явно написано, что это функции из эль два, как и их обобщённые производные, Про суммируемость в первой степени ничего не написано. Ещё раз- это одномерное пространство на отрезке. Вроде так.

-- 04.05.2022, 18:23 --

В учебнике Михайлов\Гущин есть параграф- Вложение аш 1 в эль два.

[mihaild]

novichok2018 в сообщении #1553857 писал(а):

Про суммируемость в первой степени ничего не написано.

На множестве ограниченной меры она следует из принадлежности $L_2$.
Функция $f(x) = \sqrt{x - x^2}$ абсолютно непрерывна, но не принадлежит $H^1$.

novichok2018 в сообщении #1553854 писал(а):

Мне кажется, что аш 1 - это гильбертово пространство функций из эль два, у которых есть первая обобщённая производная

Вот тут вы забыли, что обобщенная производная должна принадлежать $L_2$.

[demolishka]

thething в сообщении #1553855 писал(а):

Это же как раз и даёт описание класса абсолютно непрерывных функций, с производной, лежащей в $L_2$?

Конечно. Изначально ведь был вопрос, лежат ли в таком пространстве функции с производной, имеющей конечное число разрывов и тд. С таким определением, как я привел (т.е. без абсолютных непрерывностей и обобщенных производных), все это становится совершенно понятно и элементарно, как видимо и нужно artempalkin.

[Vince Diesel]

Есть вложение $W_2^1$ в пространство Гельдера $C^{1/2}$, но только в одномерном случае.

[artempalkin]

demolishka в сообщении #1553852 писал(а):

$f \in L_{2}(a,b)$,

Вот здесь мне нужно прояснить: чем-то отличается $L_2(a;b)$ от $L_2[a;b]$? Ну есть по виду интегрируемые с квадратом функции на отрезке либо на интервале, но поскольку это классы функций, особой разницы нет между этими пр-вами, правильно я понимаю?

demolishka в сообщении #1553852 писал(а):

$$f(x) = f(a) + \int_{a}^{x}g(y)dy.$$

Дааа, тут мне нужно лучше для себя прояснить, что такое неопределенный интеграл Лебега... впрочем, особо проблем нет, если ф-ия интегрируема с квадратом, то интегрируема и так (суммируема); а раз суммируема на большом отрезке (интервале), то будет суммируема и на любом вложенном отрезке и интервале, то есть можно определить ф-ию через неопределенный интеграл Лебега, правильно я понимаю?

А по содержанию (доказать, что приведенное вами множество и есть $H^1$) - это надо подумать

-- 04.05.2022, 19:35 --

novichok2018 в сообщении #1553857 писал(а):

В учебнике Михайлов\Гущин есть параграф- Вложение аш 1 в эль два.

Ну если $H^1\subset C$, то $\subset L_2$ и подавно, разве нет?

-- 04.05.2022, 20:07 --

Пусть $f(x)=f(a)+\int\limits_a^xg(y)dy$, причем $f(x),g(x)\in L_2(a,b)$.

Тогда существуют $g_n(y)\in C(a,b)$ сколь угодно близкие к $g(y)$, например, $||g_n-g||_C\leqslant 1/n$. $g_n\in L_2$ в том числе.

Пусть тогда $f_n(x)=f(a)+\int\limits_a^xg_n(y)dy$. Тогда $f_n\in L_2$.

Тогда $\lim\limits_{n\to \infty}||f_n-f||^2_{L_2}=\lim\limits_{n\to \infty}\int\limits_a^b(\int\limits_a^x (g_n(y)-g(y))dy)^2dx\leqslant \lim\limits_{n\to \infty}\frac 1{n^2(b-a)^2}=0$

При этом $f_n$ будут дифференцируемые. В итоге последовательность $f_n$ сходится к $f$ в метрике $L_2$.

Теперь нужно рассмотреть $f_n'(x)=g_n(x)$. Сходимость доказать будет неудобно, лучше доказать фундаментальность. Однако по условию эта последовательность фундаментальна в $C$, а значит уж точно фундаментальна в $L_2$.

В "эту" сторону вроде доказал...

[novichok2018]

вложение -это не только теоретико-множественное включение, но и неравенство между нормами.
Пространство Аш 1 на отрезке - это в точности пространство АС функций. Поэтому пример выше непонятен.

-- 04.05.2022, 20:37 --

Vince Diesel где посмотреть про вложение АС на отрезке в половинного Гёльдера?

[demolishka]

artempalkin в сообщении #1553870 писал(а):

особой разницы нет между этими пр-вами, правильно я понимаю

Поскольку у нас мера Лебега и функции рассматриваются с точностью до меры нуль, то разницы между $(a,b)$ и $[a,b]$ нет. В контексте соболевских пространств все происходит внутри некоторой области. Тут это важно с методической точки зрения. Мы работаем внутри области, а что там автоматически получается на границе ― вопрос отдельный (теорема о следах).

novichok2018 в сообщении #1553875 писал(а):

впрочем, особо проблем нет, если ф-ия интегрируема с квадратом, то интегрируема и так (суммируема); а раз суммируема на большом отрезке (интервале), то будет суммируема и на любом вложенном отрезке и интервале, то есть можно определить ф-ию через неопределенный интеграл Лебега, правильно я понимаю?

Да

artempalkin в сообщении #1553870 писал(а):

В "эту" сторону вроде доказал...

А что же доказывали ?

[Vince Diesel]

novichok2018 в сообщении #1553875 писал(а):

где посмотреть про вложение АС на отрезке в половинного Гёльдера?

Вот. Подробней в книжках по теории функций, например, Бесов, Ильин, Никольский " Интегральные представления функций и теоремы вложения".

[artempalkin]

demolishka в сообщении #1553880 писал(а):

Тут это важно с методической точки зрения. Мы работаем внутри области, а что там автоматически получается на границе ― вопрос отдельный (теорема о следах).

То есть все-таки для нас важно, что именно $(a;b)$, правильно я понимаю?

demolishka в сообщении #1553880 писал(а):

А что же доказывали ?

Теперь, по идее, нужно в другую сторону. Что любая $f\in H^1$ представима в виде $f(x)=f(a)+\int\limits_a^xg(y)dy$, где $g\in L_2$... но тут как бы не совсем понимаю, как

[demolishka]

artempalkin в сообщении #1553882 писал(а):

что именно $(a;b)$

Пишите пожалуйста интервал через запятую как $(a,b)$, а не точку с запятой. Точкой с запятой отделяется пространство значений функций. Например, $L_{2}(\Omega;\mathbb{R}^{n})$ - функции на $\Omega$ со значениями в $\mathbb{R}^{n}$. Для интервалов проявляют снисхождение и часто пишут, например, $L_{2}(a,b;\mathbb{R}^{n})$ вместо $L_{2}((a,b);\mathbb{R}^{n})$. Когда $n=1$, то область значений не указывают. То же касается записи других классов функций.

artempalkin в сообщении #1553882 писал(а):

Теперь, по идее, нужно в другую сторону

Мне не очень понятно, что Вы доказывали в том сообщении. Я там вижу доказательство того, что непрерывно дифференцируемые функции плотны в том пространстве, про которое я Вам предлагал доказать совпадение с $W^{1,2}(a,b)$, если его снабдить соответствующей соболевской нормой (вместо обобщенной производной используем $g$). Для того, чтобы разобраться как доказывать, нужно знать, чего Вам про такие пространства известно. Для начала приведите используемое определение пространства $W^{1,2}(a,b)$.

artempalkin в сообщении #1553882 писал(а):

То есть все-таки для нас важно, что именно $(a;b)$, правильно я понимаю

Для пространства $L_{2}$ по мере Лебега не важно. Про методичность я имел в виду с точки зрения пространств Соболева.

[Red_Herring]

novichok2018 в сообщении #1553854 писал(а):

Тут может быть путаница, какой индекс что значит. Мне кажется, что аш 1 - это гильбертово пространство функций из эль два, у которых есть первая обобщённая производная.

принадлежащая $L^2$.
Т.е. $H^1=W^1_2$.

[artempalkin]

demolishka
Моисеев определяет так: введём на множестве непрерывно дифф. функций (НДФ) скалярное произведение таким образом:
$(u, v) =\int uv dt+\int u'v'dt$ (по соотв. промежутку). Дальше пополним это пространство по метрике, порождённой СП.

В итоге получается, что некий элемент $f$ будет элементом $H^1$, если найдётся такая последовательность $f_n$ из НДФ, что она сходится в метрике $L_2$ к $f$, а кроме этого последовательность $f_n'$ фундаментальна по метрике $L_2$.

Вот это я вроде бы доказал для вашего множества...

[demolishka]

artempalkin в сообщении #1553905 писал(а):

Моисеев определяет так

Прекрасно. Ну тогда все получается автоматически. Возьмите то "моё" пространство и введите скалярное произведение. Тогда оно содержит непрерывно дифференцируемые функции как всюду плотное подмножество и полно.