Нормировка волновой функции свободной частицы

[Arks]

Alex-Yu в сообщении #1553533 писал(а):

А не надо от него избавляться. Это и физически понятно: чем больше объем, в котором находится ОДНА частица, тем меньше плотность вероятности обнаружить ее в каком-нибудь месте. А при расчетах чего-нибудь физически вразумительного объем сокращается. Всегда. Я же это уже писал, читайте внимательней!

Это понятно, но это не тот ответ, который хотел получить ТС Он хотел получить конкретный множитель, который можно взять только из нормировки на дельта-функцию (даже если это нефизично, задача по сути математическая). Он про Фому, а вы про Ерему

[kzv]

amon в сообщении #1553543 писал(а):

Значит $I(p,p')=\delta(p-p')$ и $\langle p|p\rangle=\infty.$

Математически мне все тут понятно. Я не понимаю физический смысл выражения $\langle p|p\rangle=\infty$

Alex-Yu в сообщении #1553533 писал(а):

А при расчетах чего-нибудь физически вразумительного объем сокращается. Всегда.

Изначально я хотел решить такую задачу: Найти волновую функцию в импульсном представлении, если в координатном она имеет вид $\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{\pi n x}{a}}$
Решаю исходя из предположения, что я не узнал в этой функции частицу в потенциальной яме и значит, из условия, ничего не знаю о граничных условиях, значит полагаю, что координата и импульс меняются от минус до плюс бесконечности. Первым действием пытаюсь найти собственные функции оператора импульса и сразу же сталкиваюсь с проблемой нормировки (см. первый пост темы).

[Arks]

kzv
Тут есть ответы на ваши вопросы

[Alex-Yu]

kzv в сообщении #1553560 писал(а):

, ничего не знаю о граничных условиях

Знать функцию это не просто формулу написать. Надо еще знать на каком интервале она определена (и даже в каком функциональном пространстве). Кстати, если уж про яму, то это вообще не верное выражение. Вне ямы функция равна нулю и только в яме определяется этой формулой. Если это учесть, то никакой проблемы нормировки нет даже в самом банальном смысле.

-- Чт апр 28, 2022 12:12:39 --

kzv в сообщении #1553560 писал(а):

значит полагаю,

Если полагать чепуху, то и получится чепуха. Все нормально, так и должно быть

-- Чт апр 28, 2022 12:20:06 --

kzv в сообщении #1553560 писал(а):

собственные функции оператора импульса

Вам уже все объяснили. Или нормировка не на единицу (например, на дельта-функцию), или запихайте свою яму в большой ящик с периодическими граничными условиями. В ящике можно будет пользоваться банальной нормировкой на единицу. Естественно, ответ будет зависеть от нормировочного объема. Так и должно быть. Но если с такой волновой функцией в "ящичном" импульсном представлении посчитать что-нибудь наблюдаемое, то нормировочный объем сократится. Для ясного понимания физики лучше пользоваться "ящичными" функциями.

Математик бы сказал, что у оператора импульса на бесконечном интервале собственных функций вообще нет. И в своем строгом математическом смысле он прав (там вообще много тонких математических вопросов, в частности $(-i\hbar)\nabla$ это вовсе даже еще и не оператор). А с "ящиком" таких проблем не возникает.

Кстати, спектр оператора импульса в ящике дискретный. Но очень густой при большом ящике. Густота этого спектра зависит от нормировочного объема (объема ящика) и именно этот факт сокращает нормировочный объем при расчете наблюдаемых величин.

-- Чт апр 28, 2022 12:43:23 --

kzv в сообщении #1553560 писал(а):

Математически мне все тут понятно. Я не понимаю физический смысл выражения $\langle p|p\rangle=\infty$

И не поймете. Потому как, строго говоря, его вообще нет. Нет, некий условный смысл есть, но именно условный. Чтобы с этим разобраться надо детально разобрать вариант с "ящичными" функциями. Именно физически разобрать. Собственно и математики к бесконечным интервалам подходят как к пределу конечных. Но предел -- дело тонкое. Особенно функциональный предел. Про тонкости пределов читайте теорию топологических пространств, например, "Общую топологию" Кэлли. Впрочем, физику это не очень надо, разве что для общего развития. Нужнее основы функционального анализа. В принципе можно обходиться обычным классическим матанализом, но тогда у дотошного человека будут периодически возникать парадоксы (которые обычно легко обойти, переформулировав задачу так, чтобы физически осталась той же самой, но уже без математических тонкостей).