2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка из Кванта по теории чисел. Автор Н. Агаханов
Сообщение27.04.2022, 00:35 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
Вася выписал на доску $999$ произведений: $1\cdot 2, 2\cdot 3, 3\cdot 4, \ldots, 999\cdot 1000$.
1)Верно ли, что сумма каких-то двух из этих произведений равна $40000$? Если верно, то найдите все такие суммы.
2)Верно ли, что сумма каких-то двух из этих произведений равна $20000$? Если верно, то найдите все такие суммы.
3) Сколько всего различных сумм можно получить?
4)Если выписать всевозможные суммы, какая будет повторяться чаще других?

Пункты 1) и 2), конечно, нужно решить без машины. В журнале сообщается, что эта задача предназначена прежде всего учащимся 6-8 классов, но я её немного изменил, чтобы и форумчанам было интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из Кванта по теории чисел. Автор Н. Агаханов
Сообщение27.04.2022, 06:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Суммы натурального ряда $t_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ (они же "треугольные числа"). Задача на знание формулы $4(t_n+t_m)+1=(n+m+1)^2+(n-m)^2.$ Если она из теории чисел, то не из нашего раздела. В школе ничего такого тоже не сообщали и не знаю где еще, а тема сама по себе любопытная. Список подобных закономерностей есть тут.
lel0lel в сообщении #1553495 писал(а):
... $20000$? Если верно, то найдите все такие суммы.
lel0lel в сообщении #1553495 писал(а):
... решить без машины.
Это заинтересует корифеев устного счета.
lel0lel в сообщении #1553495 писал(а):
Если выписать всевозможные суммы, какая будет повторяться чаще других?
Не очень понятно, имеется в виду число? Без ограничения по величине так: $\dfrac{5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 29 \cdot...-1}{2}$. В числителе "дырявый" праймориал из простых вида $4k+1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из Кванта по теории чисел. Автор Н. Агаханов
Сообщение27.04.2022, 09:29 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
Andrey A в сообщении #1553500 писал(а):
Если она из теории чисел, то не из нашего раздела. В школе ничего такого тоже не сообщали и не знаю где еще, а тема сама по себе любопытная

В школе умеют выделять полные квадраты:
$x(x+1)+y(y+1)=S$, то $(2x+1)^2+(2y+1)^2=4S+2$.
Andrey A в сообщении #1553500 писал(а):
Не очень понятно, имеется в виду число?
Да

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из Кванта по теории чисел. Автор Н. Агаханов
Сообщение27.04.2022, 12:14 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
Запишем $a(a+1)+(a+n)(a+n+1)=s$, и чтобы дискриминант квадратного относительно $a$ уравнения был квадратом натурального числа $d^2$, должно выполняться $2s+1=n^2+d^2$. В связи с чем ответ на (1) отрицательный, т.к. $2\cdot40000+1=3^3\cdot2963$ не может быть представлено в виде суммы двух квадратов натуральных чисел по теореме Ферма-Эйлера (потребовалось пополнить свой багаж знаний), а в (2) конечно находится $20000=99\cdot100+100\cdot101$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из Кванта по теории чисел. Автор Н. Агаханов
Сообщение27.04.2022, 12:33 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
waxtep в сообщении #1553520 писал(а):
а в (2) конечно находится $20000=99\cdot100+100\cdot101$

Ага, именно эту сумму подразумевалось, что найдут школьники. Дополнительный вопрос про все такие суммы это уже от меня, здесь пригодятся гауссовы числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из Кванта по теории чисел. Автор Н. Агаханов
Сообщение27.04.2022, 15:08 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
lel0lel в сообщении #1553521 писал(а):
здесь пригодятся гауссовы числа
Красивая штука :-) тогда еще $89\cdot90+109\cdot110=40\cdot41+135\cdot136=54\cdot55+130\cdot131$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group