Задачка из Кванта по теории чисел. Автор Н. Агаханов

[lel0lel]

Вася выписал на доску $999$ произведений: $1\cdot 2, 2\cdot 3, 3\cdot 4, \ldots, 999\cdot 1000$.
1)Верно ли, что сумма каких-то двух из этих произведений равна $40000$? Если верно, то найдите все такие суммы.
2)Верно ли, что сумма каких-то двух из этих произведений равна $20000$? Если верно, то найдите все такие суммы.
3) Сколько всего различных сумм можно получить?
4)Если выписать всевозможные суммы, какая будет повторяться чаще других?

Пункты 1) и 2), конечно, нужно решить без машины. В журнале сообщается, что эта задача предназначена прежде всего учащимся 6-8 классов, но я её немного изменил, чтобы и форумчанам было интересно.

[Andrey A]

Суммы натурального ряда $t_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ (они же "треугольные числа"). Задача на знание формулы $4(t_n+t_m)+1=(n+m+1)^2+(n-m)^2.$ Если она из теории чисел, то не из нашего раздела. В школе ничего такого тоже не сообщали и не знаю где еще, а тема сама по себе любопытная. Список подобных закономерностей есть тут.

lel0lel в сообщении #1553495 писал(а):

... $20000$? Если верно, то найдите все такие суммы.

lel0lel в сообщении #1553495 писал(а):

... решить без машины.

Это заинтересует корифеев устного счета.

lel0lel в сообщении #1553495 писал(а):

Если выписать всевозможные суммы, какая будет повторяться чаще других?

Не очень понятно, имеется в виду число? Без ограничения по величине так: $\dfrac{5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 29 \cdot...-1}{2}$. В числителе "дырявый" праймориал из простых вида $4k+1.$

[lel0lel]

Andrey A в сообщении #1553500 писал(а):

Если она из теории чисел, то не из нашего раздела. В школе ничего такого тоже не сообщали и не знаю где еще, а тема сама по себе любопытная

В школе умеют выделять полные квадраты:
$x(x+1)+y(y+1)=S$, то $(2x+1)^2+(2y+1)^2=4S+2$.

Andrey A в сообщении #1553500 писал(а):

Не очень понятно, имеется в виду число?

Да

[waxtep]

Запишем $a(a+1)+(a+n)(a+n+1)=s$, и чтобы дискриминант квадратного относительно $a$ уравнения был квадратом натурального числа $d^2$, должно выполняться $2s+1=n^2+d^2$. В связи с чем ответ на (1) отрицательный, т.к. $2\cdot40000+1=3^3\cdot2963$ не может быть представлено в виде суммы двух квадратов натуральных чисел по теореме Ферма-Эйлера (потребовалось пополнить свой багаж знаний), а в (2) конечно находится $20000=99\cdot100+100\cdot101$

[lel0lel]

waxtep в сообщении #1553520 писал(а):

а в (2) конечно находится $20000=99\cdot100+100\cdot101$

Ага, именно эту сумму подразумевалось, что найдут школьники. Дополнительный вопрос про все такие суммы это уже от меня, здесь пригодятся гауссовы числа.

[waxtep]

lel0lel в сообщении #1553521 писал(а):

здесь пригодятся гауссовы числа

Красивая штука тогда еще $89\cdot90+109\cdot110=40\cdot41+135\cdot136=54\cdot55+130\cdot131$