2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Треугольные числа
Сообщение26.08.2015, 21:42 


21/11/12
792
Санкт-Петербург
Привожу список тождеств с использованием символа $t_n$, который при желании можно дополнить или обобщить для $k$-угольных чисел. Что известно о применимости такой "треугольной арифметики" кроме нумерологии? Знаю только пентагональную теорему Эйлера о количестве разбиений. Каждое натуральное число - сумма не более чем $k$ $k$-угольных чисел $(k>2)$ - такая красивая закономерность и совсем без последствий?

$$t_a=1+2+3+...+a=\frac{a(a+1)}{2}=\frac{(2a+1)^2-1}{8} $$
$$t_{2a}=a(2a+1);\quad t_{2a+1}=(a+1)(2a+1);\quad t_{-a}=t_{a-1}$$
$\Rightarrow \; $ Каждое треугольное число в отличии от квадратного имеет как четный так и нечетный номер. Поэтому замена $p\rightarrow a+b,\ q\rightarrow a-b$ в индексах не нарушает общности.
$$t_a-t_{-a}=a;\quad t_a+t_{-a}=a^2;\quad t_a^2-t_{-a}^2=a^3;\quad t_a^2+t_{-a}^2=t_{a^2};\quad 1^3+2^3+3^3+...+a^3=t_a^2$$
$$2t_at_{-a}=t_{-a^2};\ t_{a+1}t_{a-1}=2t_{-t_a};\ (a^2-1)((a+1)^2-1)=(2t_a-1)^2-1 $$
$$t_a-t_b=\frac{(a-b)(a+b+1)}{2}=\frac{(2a+1)^2-(2b+1)^2}{8}=$$
$$=t_a(2b+1)^2-t_b(2a+1)^2\;\Rightarrow \; t_a(2b+1)^2+t_b=t_b(2a+1)^2+t_a=t_{2ab+a+b}$$
$$t_{a+b}-t_{a-b}=b(2a+1)$$ $\Rightarrow \; $ Количество отображений числа в виде частной суммы натурального ряда соответствует количеству его нечетных делителей.
$$t_{a+b}=t_a+ab+t_b;\quad t_{a+b}+t_{a-b}=2t_a+b^2;\quad t_{a+b}+t_{a-b}+c^2=t_{a+c}+t_{a-c}+b^2$$
$$(a-b)t_{a+b}=(a+b)(t_a-t_b);\quad (a-b)^2t_{a+b}=(a^2-b^2)(t_a-t_b);\quad t_{a+b}t_{a-b}=(t_a-t_b )(t_a-t_{-b})$$
$$t_{ab}=t_at_b+t_{-a}t_{-b}\quad \Rightarrow\quad t_at_b=t_{ab}-t_{(a-1)(b-1)} +t_{(a-2)(b-2)}-t_{(a-3)(b-3)}+...\pm t_{a-b+1}\quad (a\geq b)$$
$$ab-t_c=t_{a+b+c}-t_{a+c}-t_{b+c};\quad t_a-t_b-t_c=(a-b)(a-c)-t_{c+b-a}$$
$$t_{2a}+t_{2b}+t_{2c}=t_{a+b+c}+t_{a+b-c}+t_{b+c-a}+t_{c+a-b}=t_{a+b}+t_{b+c}+t_{c+a}+t_{a-b}+t_{b-c}+t_{c-a}$$
$$t_a+t_b+t_c+t_{a+b+c-2n}=t_{a+b-n}+t_{b+c-n}+t_{c+a-n}+t_n$$
$$4(t_a+t_b+t_c )+1=t_{a+b+c+1}+t_{a+b-c}+t_{b+c-a}+t_{c+a-b}$$
$$3(t_a+t_b+t_c)+1=t_{a+b+c+1}+t_{a-b}+t_{b-c}+t_{c-a}$$
___________________

$$8t_a+1=(2a+1)^2$$
$$4(t_a+t_b)+1=(a+b+1)^2+(a-b)^2$$
$$2(t_{a_1+b_1}+t_{a_1-b_1}+t_{a_2+b_2}+t_{a_2-b_2})+1=(a_1+a_2+1)^2+(a_1-a_2)^2+(b_1+b_2)^2+(b_1-b_2)^2$$
$$t_{a_1+b_1}+t_{a_1-b_1}+t_{a_2+b_2}+t_{a_2-b_2}+t_{a_3+b_3}+t_{a_3-b_3}+t_{a_4+b_4}+t_{a_4-b_4}+1=$$$$\left(\negthickspace\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{2}\negthickspace+\negthickspace1\negthickspace\right)^2\negthickspace+\left(\negthickspace\frac{a_1+a_2-a_3-a_4}{2}\negthickspace\right)^2\negthickspace+\left(\negthickspace\frac{a_1-a_2+a_3-a_4}{2}\negthickspace\right)^2\negthickspace+\left(\negthickspace\frac{a_1-a_2-a_3+a_4}{2}\negthickspace\right)^2\negthickspace+b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2$$
или

$$(a_1+a_2+1)^2+(a_1-a_2 )^2+(a_3+a_4 )^2+(a_3-a_4 )^2+b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2=$$
$$=1\ +\ t_{a_1+a_3+b_1}+t_{a_1+a_3-b_1}+t_{a_1-a_3+b_2}+t_{a_1-a_3-b_2}+t_{a_2+a_4+b_3}+t_{a_2+a_4-b_3}+t_{a_2-a_4+b_4}+t_{a_2-a_4-b_4}$$
___________________

$t_a+t_{-a}=a^2$ два t нулевой суммы номеров.
$t_{a+b}+t_{a-b}+t_{-2a}=b^2+3a^2$ три t нулевой суммы номеров (тройка и простые вида $6k+1$ в нечетных степенях канонического разложения).
$t_{a+b}+t_{a-b}+t_{-a+c}+t_{-a-c}=b^2+c^2+2a^2=\frac{(b+c)^2+(b-c)^2+(2a)^2}{2}$ каждое нечетное – сумма четырех t нулевой суммы номеров.
$2t_{2a}+1=(a+1)^2+3a^2;\quad 2t_{2a}-1=(3a+2)^2-5(a+1)^2$ пятерка и простые вида $10k\pm 1$ в нечетных степенях канонического разложения.
Уравнение $t_a+t_x+t_y=m$ разрешимо, если для некоторых $p,q$ выполняется $4(m-t_a )+1=p^2+q^2:\ x=\frac{p+q-1}{2};\ y=\frac{p-q-1}{2}.$
Система $\begin{cases} x+y+z=s \\ t_x+t_y+t_z=m \end{cases}$ разрешимa, если для некоторых $p,q$ выполняется $3m+1-t_{s+1}=p^2+3q^2:\ x=\frac{s+p}{3}+q;\ y=\frac{s+p}{3}-q;\ z=\frac{s+p}{3}-p$, что следует из тождества $3(t_a+t_{b+c}+t_{b-c})+1=(a-b)^2+3c^2+t_{a+2b+1}$ (из трех индексов всегда найдется пара индексов одной четности).
Пример: $m=15403$ не представить суммой трёх $t$ общей суммой номеров $s=302$, поскольку $15403\cdot 3+1-t_{303}=154=2\cdot 7\cdot 11$ не есть число нужного вида. Для $s=301:\ 15403\cdot 3+1-t_{302}=457=5^2+3\cdot 12^2.$
$\frac{301+5}{3}=102;\ x=102+12=114;\ y=102-12=90;\ z=102-5=97.$
$$\begin{cases} 114+90+97=301 \\ t_{114}+t_{90}+t_{97}=15403 \end{cases}$$
___________________

$$\sum\limits_{i=1}^{m}\sigma_i=\left \lceil  \frac{1+m-t_1}{1}\right \rceil^2-\left \lceil  \frac{1+m-t_2}{2}\right \rceil^2+\left \lceil  \frac{1+m-t_3}{3}\right \rceil^2-...\pm \left \lceil  \frac{1+m-t_n}{n}\right \rceil^2$$ где $n=\left \lfloor  \frac{\sqrt{8m+1}-1}{2}\right \rfloor$ ("треугольный" корень из $m$); $\sigma_i$ - полная сумма делителей $i<m$. Взятое без первого слагаемого с обратными знаками данное выражение возвращает сумму остатков деления $m$ на все модули $<m$. Тоже применение.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.08.2015, 09:13 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5721
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: переношу сюда, поскольку задачи здесь нет, и подходит больше

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные числа
Сообщение28.08.2015, 08:46 


21/11/12
792
Санкт-Петербург
Еще вопрос по горячим следам.

$\begin{matrix}
1 \\ 
 & 3 \\ 
-1 &  & 5 \\ 
 &  &  & 7 \\ 
 & -3 &  &  & 9 \\ 
1 &  &  &  &  & 11 \\ 
 &  & -5 &  &  &  & 13 \\ 
 &  &  &  &  &  &  & 15 \\ 
 & 3 &  & -7 &  &  &  &  & 17 \\ 
-1 &  &  &  &  &  &  &  &  & 19 \\ 
 &  &  &  & -9 &  &  &  &  & \\ 
 &  & 5 &  &  &  &  &  &  & \\ 
 &  &  &  &  & -11 &  &  &  & \\ 
 & -3 &  &  &  &  &  &  &  & \\ 
1 &  &  & 7 &  &  & -13 &  &  & \\ 
 &  &  &  &  &  &  &  &  & \\ 
 &  &  &  &  &  &  & -15 &  & \\ 
 &  & -5 &  & 9 &  &  &  &  & \\ 
 &  &  &  &  &  &  &  & -17 & \\ 
 & 3 &  &  &  &  &  &  &  & 
\end{matrix}$

Матрица имеется в виду треугольная (проблемы с LaTeXом). Надеюсь, принцип ясен: нечетные ходят конём. Единицы расположены на пересечении 1-го столбца и "треугольных" строк: $1,3,6,..$. Количество чисел в $n$-ой строке равно количеству нечетных делителей $n$ (что само по себе любопытно), а сумма - полной сумме делителей $n$. Знакопеременные квадраты из начального поста - суть суммы последовательностей, образованных лучами матрицы. Если не знать формулы $\sigma(n)$, можно суммировать не сами делители, а выражения вида $\frac{2n}{d}-d$ , где $d$ пробегает значения всех нечетных делителей $n$ (для четных $n$ даже удобней).
Нет ли иного способа определить элементы $n$-ой строки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные числа
Сообщение29.08.2015, 22:08 


21/11/12
792
Санкт-Петербург
И еще. Пусть $s_n$ - сумма остатков деления $n$ на все модули $<n$. Имеют место соотношения:
$$\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma(i)+s_n=n^2$$
$$\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sigma(i)+s_{n-1}=(n-1)^2$$
Вычитая одно из другого, получаем $\sigma(n)+s_n-s_{n-1}=2n-1$ или $s_n-s_{n-1}=2n-1-\sigma(n)$. Если $X$ - совершенное число, то $\sigma(X)=2X$ и

$$s_X-s_{X-1}=-1$$
Причем это достаточное условие "совершенства" $X$. Где-то об этом написано? Важно, что при делении на модули $>n/2$ суммы остатков для пары $(n-1,n)$ равны при четном $n$, но отличаются на $\left \lfloor  n/2\right \rfloor$ при нечетном $n$. Если доказать, что при переходе с четного на нечетное функция $s_n$ не убывает, можно сэкономить много машинного времени для проекта OddPerfect.org
Кстати, в русской Вики о совершенных числах жирная ошибка в самом начале. Кто бы поправил. Написано: ...где было доказано, что число $2^{p-1}(2^p-1)$ является совершенным, если... Забыли на два поделить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные числа
Сообщение29.08.2015, 22:41 
Заслуженный участник


20/12/10
5865
Andrey A в сообщении #1049178 писал(а):
Написано: ...где было доказано, что число $2^{p-1}(2^p-1)$ является совершенным, если... Забыли на два поделить.
Не надо на два делить, всё в порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные числа
Сообщение29.08.2015, 22:47 


21/11/12
792
Санкт-Петербург
$p-1$ упустил. Спасибо, вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные числа
Сообщение31.08.2015, 14:33 


21/11/12
792
Санкт-Петербург
Заканчиваю монолог. Предположение, что
Andrey A в сообщении #1049178 писал(а):
... при переходе с четного на нечетное функция $s_n$ не убывает
ошибочно, конечно. $s_{945}-s_{944}=-31$. Для всех избыточных нечетных эта разность отрицательна, $945$ - наименьшее. Из ближайших выделяются
$$s_{8415}-s_{8414}=-19;\ s_{8925}-s_{8924}=-7$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольные числа
Сообщение27.05.2016, 16:28 


21/11/12
792
Санкт-Петербург
Upd (для полноты картины)

Система $\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=s \\ t_{x_1}+t_{x_2}+t_{x_3}+t_{x_4}=m \end{cases}$ разрешимa, если находятся целые $a,b,c$ такие, что $8m+4-(s+2)^2=a^2+b^2+c^2$: $$x_1=\dfrac{s+a+b+c}{4};\ x_2=\dfrac{s+a-b-c}{4};\ x_3=\dfrac{s-a+b-c}{4};\ x_4=\dfrac{s-a-b+c}{4}. $$ Параметры $s,a,b,c$ вынужденно одной четности. В случае нечетных для получения целых решений выбирается надлежащий знак
(для определенности $\pm c$), в случае четных при смене знака возникает вариант, описываемый тождеством $$t_{x_1}+t_{x_2}+t_{x_3}+t_{x_4}=t_{\tfrac{x_1+x_2+x_3-x_4}{2}}+t_{\tfrac{x_2+x_3+x_4-x_1}{2}}+t_{\tfrac{x_3+x_4+x_1-x_2}{2}}+t_{\tfrac{x_4+x_1+x_2-x_3}{2}}$$ Другие решения следуют из других троек $a',b',c'$, удовлетворяющих начальному условию, коих в общем случае может быть сколь угодно много. Тем не менее для фиксированного $0\leq s\leq \left \lfloor \sqrt{8m+4} \right \rfloor-2$ количество решений конечно, а при $m=73,s=18$, к примеру, система вообще неразрешима: $73\cdot 8+4-20^2=188=47\cdot 2^2$. Числа вида $(8n+7)\cdot 2^{2k}$, как известно, не представимы суммой трех квадратов. Выше описана система для трёх $t$, там неотрицательное $s\leq \left \lfloor \dfrac{\sqrt{24m+9}-1}{2} \right \rfloor-1$. Рискну предположить, что для разрешимости аналогичных систем с бо́льшим количеством слагаемых подобное ограничение по величине для $s$ необходимо и достаточно. Можно ведь исходить из четырех $t$ и добавлять $t_0,t_{-1}$ или $t_1$ по вкусу. К примеру
$\begin{cases} 10+3+3+3-1=18 \\ t_{10}+t_3+t_3+t_3+t_{-1}=73 \end{cases}$ или $\begin{cases} 10+5+1+1+1=18 \\ t_{10}+t_5+t_1+t_1+t_1=73 \end{cases}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group