Обсуждение и разбор марафонских задач

[VAL]

===========ММ271===============

ММ271 (3 балла)

Помогите Васе

Вася хочет найти натуральное число n, обладающее следующими свойствами:
1) наивысший показатель степени в каноническом разложении $n$ равен 1;
2) наивысший показатель степени в каноническом разложении $n+1$ равен 2;
3) наивысший показатель степени в каноническом разложении $n+2$ равен 3;
4) наивысший показатель степени в каноническом разложении $n+3$ равен 4.
Существуют ли такие числа?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова и Василия Дзюбенко.

Обсуждение

Локальные причины, о которых я не хочу распространятся, и глобальные обстоятельства, о которых итак все знают, привели к ожидаемому оттоку конкурсантов.
Впрочем, массового характера эта "усушка" не носит.

Первая задача XXVIII конкурса запланированно не вызвала затруднений. Но это не значит, что не было неожиданностей. Главная из них - далеко не все конкурсанты (всего двое) нашли наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию. В то время как задачка была придумана именно ради него.
Зная, что старт конкурса будет приурочен к новогодним праздникам, я стремился придумать задачу, где число 2022 не просто будет фигурировать в условии, а будет играть особую роль. Разумеется, чисел с требуемыми свойствами бесконечно много, но 2022 не просто одно из них, а наименьшее такое число.

Последовательность "Васиных" чисел есть в OEIS (A176913).

Изменения в правилах, при которых обобщения и аналоги задачи, как правило, не поощряются дополнительными баллами, позволили мне лишь по диагонали посмотреть присланное Василием Дзюбенко доказательство бесконечности множества искомых чисел. Желающие могут изучить его более внимательно.
Если к условиям ММ271 добавить требование "наивысший показатель степени в каноническом разложении $n+4$ равен 5" , то наименьшим подходящим числом будет 5095949.
КТО позволяет легко найти числа, для которых, наряду с вышеперечисленными, выполнено условие "наивысший показатель степени в каноническом разложении n+5 равен 6". Одним из таких чисел (не обязательно наименьшим) будет 3247538747. 4044491827309371 открывает аналогичную цепочку уже из 7 чисел.
Вслед за Владом Франком и Мерабом Левиашвили, я уверен, что существуют подобные цепочки последовательных натуральных чисел любой наперед заданной длины.

Эстетическая оценка ММ271 невысока. Вполне соглашаясь с тем, что задача вполне рутинна, я все же рассчитывал на дополнительные баллы, за наименьшее подходящее число. Но одни конкурсанты его не заметили, а другие не оценили.

Награды

За решение задачи ММ271 Владимир Дорофеев, Владислав Франк, Василий Дзюбенко, Виктор Филимоненков, Денис Овчинников, Константин Шамсутдинов и Мераб Левиашвили получают по 3 призовых балла:

Эстетическая оценка задачи - 3.3 балла

[fiviol]

А можно постфактум поменять свою эстетическую оценку (на максимальный балл)? Потому что ход про 2022 замечательный!

[VAL]

fiviol в сообщении #1550446 писал(а):

А можно постфактум поменять свою эстетическую оценку (на максимальный балл)? Потому что ход про 2022 замечательный!

А нужно? Я вполне удовлетворен Вашим комментарием.

[VAL]

===========ММ272===============

ММ272 (4 балла)

Задача про задачу

Сколько решений в зависимости от значений натурального параметра $k$ может иметь задача «Найти все натуральные $n$ такие, что $\tau(n)=k$ и $n$ кратно $k$»?

Решение

Привожу решения Влада Франка (краткое) и Дениса Овчинникова (развернутое).

Обсуждение

Задача ММ272 так же, как и ММ271 не вызвала затруднений участников.
При этом не было предложено никаких аналогов и обобщений задачи.
Полагаю это обусловлено не только изменением правил (ведь для ММ271 обобщения предлагались), но и тем, что конкурсанты не нашли интересных вопросов, продолжающих ММ272.
В качестве не очень интересного предложу такой вариант: сколько решений в зависимости от значений натурального параметра $f(k)$ может иметь задача «Найти все натуральные $n$ такие, что $\tau(n)=g(k)$. Не исключаю, что для каких-то функций от $k$ оно таки будет интересным.

Эстетическая оценка ММ272 оказалась существенно выше, чем оценка ММ271. Мне кажется иначе, но, как известно, "На вкус и на цвет товарища нет".

К некоторым из решений при желании можно было бы придраться из-за недостаточной строгости обоснования. Но у меня такого желания не возникло.

Награды

За решение задачи ММ272 Владимир Дорофеев, Владислав Франк, Василий Дзюбенко, Виктор Филимоненков, Денис Овчинников, Константин Шамсутдинов и Мераб Левиашвили получают по 4 призовых балла:

Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла

[VAL]

===========ММ273===============
ММ273 (7 баллов)

Центр на стороне

В каком диапазоне может изменяться каждый из углов треугольника ($\alpha \le \beta \le \gamma$), у которого центр окружности 9 точек принадлежит, по крайней мере, одной из сторон?

Решение

Привожу решения Василия Дзюбенко, Мераба Левиашвили и Виктора Филимоненкова.

Обсуждение

ММ273 наконец-то привела к разнообразию оценок. Но гораздо ценнее разнообразие подходов. Все присланные решения существенно различаются. Причем ответом отличается только одно Остальные отличия связаны с различием: свойств окружности 9 точек, использованных в решениях; методов (координаты, тригонометрия, дополнительные построения); полнотой и строгостью обоснований.

В текущем конкурсе Марафон впервые проходят по правилам, при которых обобщения и аналоги поощряются дополнительными баллами только в порядке исключения. Однако пункт о поощрении участников за красоту и изящество решений никто не отменял. Чем я и воспользовался.

Мне больше других понравились решения Мераба Левиашвили и Василия Дзюбенко. Однако дополнительный балл Василия нивелирован баллом, вычтенным за один нюанс (Василий сам называет этот момент в своем решении словом "нюанс"): те условия, которые вывел Василий в первой части решения, действительно являются не только необходимыми, но и достаточными для принадлежности центра окружности 9 точек одной из сторон; но те условия, которые сформулированы в ответе, конечно же, достаточными не являются.

Выношу эти решения на суд участников и болельщиков. Было бы интересно услышать ваши мнения.

Награды

За решение задачи ММ273 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 8;
Василий Дзюбенко - 7;
Виктор Филимоненков - 7;
Денис Овчинников - 7;
Константин Шамсутдинов - 6;
Владимир Дорофеев - 5;
Владислав Франк - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла

[vasiliydz]

Не согласен с ведущим по поводу своего решения. В ответе написаны, конечно же, не достаточные условия, в ответе написан ответ к задаче: диапазон каждого из углов треугольника.

[VAL]

vasiliydz в сообщении #1551182 писал(а):

Не согласен с ведущим по поводу своего решения. В ответе написаны, конечно же, не достаточные условия, в ответе написан ответ к задаче: диапазон каждого из углов треугольника.

К ответу претензий нет. И оценка за задачу не снижена.
Но, на мой взгляд, в самом решении присутствует неаккуратное рассуждение (нюанс), которое можно понять неоднозначно. И это помешало мне добавить дополнительный балл.

[VAL]

===========ММ274===============
ММ274 (6 баллов)

Эти поля слишком малы…

Сколько существует конечных полей, в мультипликативной группе которых число подгрупп равно числу порождающих элементов?

Решение

Привожу решения Владислава Франка, Мераба Левиашвили и Виктора Филимоненкова.

Обсуждение

Для всех прошедших конкурсов (за исключением самых древних) характерна одна и та же картина: где-то ближе к середине конкурса начинается отток конкурсантов. Текущий конкурс - не исключение. На ММ274 получено наименьшее количество откликов

Как появилась ММ274? Мое внимание привлек тот факт, что каждое из натуральных чисел $n$, для которых $\varphi(n)=\tau(n)$, на 1 меньше некоторой степени простого числа. Тем самым, чисто арифметическую задачу удалось сформулировать как алгебраическую (возможно, отпугнув при этом некоторых конкурсантов).

Константин Шамсутдинов потерял один случай (самый тривиальный).
У Дениса Овчинникова снят 1 балл, поскольку в его решении (идентичном приведенным) нигде не упоминается, какие числа годятся в качестве количества элементов конечного поля. Вполне возможно, Денис подразумевал это, но я не умею читать мысли на расстоянии (вблизи иногда получается).

Награды

За решение задачи ММ274 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 6;
Виктор Филимоненков - 6;
Владислав Франк - 6;
Денис Овчинников - 5;
Константин Шамсутдинов - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла

[Dendr]

VAL в сообщении #1551707 писал(а):

Вполне возможно, Денис подразумевал это

Нет, не подразумаевал. ТЧ не особо близкая мне тема, поэтому некоторые очевидные вещи могу проговаривать излишне подробно, и наоборот, какие-то вещи, которые следует специально оговаривать, пропускаю. В итоге, делаю вывод из обзора решений: правильно сделал, когда перешел к "уравнению", но неправильно, когда не вернулся обратно, тем самым упустив возможность исключить избыточные решения (повезло, что их не было).

[VAL]

В таком случае (без опоры на теорему существования и единственности) ответ и вовсе мог оказаться любым. Ведь в задаче спрашивалось о количестве полей, а не о количестве элементов в этих полях.
Вдруг, для какого-го количества элементов нашлось бы более одного подходящего поля?
Например, существует 5 различных (неизоморфных) групп, имеющих по 8 элементов.

[VAL]

===========ММ275===============
ММ275 (9 баллов)

Точки вокруг треугольника

Будем говорить, что треугольник относится к классу $k$, если на плоскости существует ровно $k$ точек таких, что выпуклый четырехугольник с вершинами в вершинах исходного треугольника и в данной точке разбивается своей диагональю, являющейся стороной исходного треугольника, на 2 подобных треугольника. Какие значения может принимать $k$?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова (краткое) и Мераба Левиашвили (подробное).

Обсуждение

Все присланные решения по сути идентичны. Различия в подробности обоснования. Два балла сняты у Владимира Дорофеева, у которого эти побробности вовсе отсутствуют.

Цена задачи оказалась явно завышена. Это связано исключительно с не слишком рациональным перебором случаев в авторском решении.

Впервые конкурсанты оказались единодушны в оценке задачи. Средняя совпадает с каждой из присланных.

Награды

За решение задачи ММ275 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 9;
Виктор Филимоненков - 9;
Владислав Франк - 9;
Константин Шамсутдинов - 9;
Владимир Дорофеев - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4 балла

[VAL]

===========ММ276===============
ММ276 (7 баллов)

Треугольные параболы

Рассмотрим 3 параболы, связанных с треугольником. Фокус каждой - одна из вершин, а директриса - прямая, содержащая противоположную сторону. Сколько точек пересечения могут иметь эти параболы?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова (аналитическое) и Мераба Левиашвили (геометрическое).

Обсуждение

Присланные решения можно условно разделить на две категории: аналитические и геометрические. Вторые показались красивее и были поощрены дополнительным баллом.

Судя по эстетическим оценкам, эта задача пока лучшая в текущем конкурсе. Разделяю это мнение.

После того, как обобщения и аналоги исходной задачи перестали поощряться дополнительными баллами, конкурсанты не стали усердствовать в этом направлении.
Но аналоги и смежные задачи от этого никуда не делись. В частности, интересен следующий факт: точки пересечения рассматриваемых парабол со сторонами треугольника принадлежат одному эллипсу. Обнаружив этот факт, я нисколько не сомневался, что он известен. Так и оказалось. Неожиданным было другое: по-видимому, он стал известен совсем недавно.
Вот ссылка на заметку Цезаря Лосады. По ней можно найти ссылки на Эммануэля Гарсию и Барри Уолка. Их публикация датирована декабрем 2019 года. Ничего более раннего я не обнаружил. Возможно, это удастся кому-ту из конкурсантов или болельщиков.

Любопытен и такой аналог наблюдения из предыдущего абзаца. Рассмотрим три параболы, фокусом каждой из которых является какая-нибудь замечательная точка треугольника, а директрисами - прямые содержащие стороны. (Беглый и не слишком аккуратный) анализ показывает, что, в зависимости от выбора заметательной точки, 6 точек пересечения этих парабол со сторонами (продолжениями сторон) исходного треугольника могут лежать или не лежать на одной кривой второго порядка. Тем самым, одни замечательные точки "более замечательны", чем другие.

В общем, интересных вопросов - море.

Награды

За решение задачи ММ276 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 8;
Виктор Филимоненков - 8;
Константин Шамсутдинов - 8;
Владислав Франк - 7;
Денис Овчинников - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла

[VAL]

===========ММ277===============
ММ277 (7 баллов)

Ну очень искусственная функция

Для каждого натурального n большего 2 обозначим:
через $g(n)$ максимум сумм попарных НОД слагаемых, при представлении $n$ в виде суммы трех натуральных слагаемых;
через $f(n)$ –– $\frac{g(n)}n $;
через $F(n)$ –– $f(n) + f(n+1) + … + f(n+9)$.
Чему равно наибольшее значение $F(n)$?
Может ли $F(n)$ быть меньше 7.1?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова, Константина Шамсутдинова и Виктора Филимоненкова.

Обсуждение

Все полученные решения в идейном плане близки. Но отличаются техникой и подробностями.

Я полагал, что эстетическая оценка будет невысока (см. эпиграф). Но нет. Больших перепадов в оценках нет. А один из участников и вовсе отметил задачу, как самую лучшую в конкурсе.

Обобщения и аналоги (почему собственно 3 и 10 слагаемых?) вполне естественны. Но в новых условиях оценивания никто на них не замахнулся.

Награды

За решение задачи ММ277 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 7;
Виктор Филимоненков - 7;
Константин Шамсутдинов - 7;
Владислав Франк - 7;
Денис Овчинников - 7;
Владимир Дорофеев - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла

[VAL]

Разбор ММ278 будет опубликован 10.05.22

[VAL]

===========ММ278===============
ММ278 (6 баллов)

Правильные в правильных

Назовем сечение выпуклого многогранника диагональным, если каждая сторона многоугольника сечения является диагональю грани. Какие многоугольники могут быть диагональными сечениями правильных многогранников?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова (краткое) и Мераба Левиашвили (подробное).

Обсуждение

Большинство конкурсантов прислали решения значительно проще авторского. Я сразу нашел в додекаэдре треугольное (вторые концы трех ребер, имеющих общую вершину), квадратное (вторые концы ребер, смежных данному ребру) и пятиугольное (вторые концы ребер, исходящих из вершин пятиугольной грани) сечения, а затем потратил некоторые усилия на проверку отсутствия других подходящих сечений, пройдя мимо очевидного факта равноправия всех диагоналей граней додекаэдра.

Награды

За решение задачи ММ277 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 6;
Виктор Филимоненков - 6;
Константин Шамсутдинов - 6;
Денис Овчинников - 6;
Владислав Франк - 3 (Влад ухитрился потерять пятиугольные сечения додекаэдра).

Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла