2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 54, 55, 56, 57, 58  След.
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение13.03.2022, 10:48 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
===========ММ271===============

ММ271 (3 балла)

Помогите Васе

Вася хочет найти натуральное число n, обладающее следующими свойствами:
1) наивысший показатель степени в каноническом разложении $n$ равен 1;
2) наивысший показатель степени в каноническом разложении $n+1$ равен 2;
3) наивысший показатель степени в каноническом разложении $n+2$ равен 3;
4) наивысший показатель степени в каноническом разложении $n+3$ равен 4.
Существуют ли такие числа?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова и Василия Дзюбенко.

Обсуждение

Локальные причины, о которых я не хочу распространятся, и глобальные обстоятельства, о которых итак все знают, привели к ожидаемому оттоку конкурсантов.
Впрочем, массового характера эта "усушка" не носит.

Первая задача XXVIII конкурса запланированно не вызвала затруднений. Но это не значит, что не было неожиданностей. Главная из них - далеко не все конкурсанты (всего двое) нашли наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию. В то время как задачка была придумана именно ради него.
Зная, что старт конкурса будет приурочен к новогодним праздникам, я стремился придумать задачу, где число 2022 не просто будет фигурировать в условии, а будет играть особую роль. Разумеется, чисел с требуемыми свойствами бесконечно много, но 2022 не просто одно из них, а наименьшее такое число.

Последовательность "Васиных" чисел есть в OEIS (A176913).

Изменения в правилах, при которых обобщения и аналоги задачи, как правило, не поощряются дополнительными баллами, позволили мне лишь по диагонали посмотреть присланное Василием Дзюбенко доказательство бесконечности множества искомых чисел. Желающие могут изучить его более внимательно.
Если к условиям ММ271 добавить требование "наивысший показатель степени в каноническом разложении $n+4$ равен 5" , то наименьшим подходящим числом будет 5095949.
КТО позволяет легко найти числа, для которых, наряду с вышеперечисленными, выполнено условие "наивысший показатель степени в каноническом разложении n+5 равен 6". Одним из таких чисел (не обязательно наименьшим) будет 3247538747. 4044491827309371 открывает аналогичную цепочку уже из 7 чисел.
Вслед за Владом Франком и Мерабом Левиашвили, я уверен, что существуют подобные цепочки последовательных натуральных чисел любой наперед заданной длины.

Эстетическая оценка ММ271 невысока. Вполне соглашаясь с тем, что задача вполне рутинна, я все же рассчитывал на дополнительные баллы, за наименьшее подходящее число. Но одни конкурсанты его не заметили, а другие не оценили.

Награды

За решение задачи ММ271 Владимир Дорофеев, Владислав Франк, Василий Дзюбенко, Виктор Филимоненков, Денис Овчинников, Константин Шамсутдинов и Мераб Левиашвили получают по 3 призовых балла:

Эстетическая оценка задачи - 3.3 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Василия Дзюбенко
MM271_extend.pdf [124.66 Кб]
Скачиваний: 207
Комментарий к файлу: Решение Дениса Овчинникова
MM271_Ovchinnikov.pdf [106.2 Кб]
Скачиваний: 198
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение14.03.2022, 19:39 


15/05/13
324
А можно постфактум поменять свою эстетическую оценку (на максимальный балл)? Потому что ход про 2022 замечательный!

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение14.03.2022, 20:20 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
fiviol в сообщении #1550446 писал(а):
А можно постфактум поменять свою эстетическую оценку (на максимальный балл)? Потому что ход про 2022 замечательный!
А нужно? Я вполне удовлетворен Вашим комментарием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение20.03.2022, 11:59 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
===========ММ272===============

ММ272 (4 балла)

Задача про задачу

Сколько решений в зависимости от значений натурального параметра $k$ может иметь задача «Найти все натуральные $n$ такие, что $\tau(n)=k$ и $n$ кратно $k$»?

Решение

Привожу решения Влада Франка (краткое) и Дениса Овчинникова (развернутое).

Обсуждение

Задача ММ272 так же, как и ММ271 не вызвала затруднений участников.
При этом не было предложено никаких аналогов и обобщений задачи.
Полагаю это обусловлено не только изменением правил (ведь для ММ271 обобщения предлагались), но и тем, что конкурсанты не нашли интересных вопросов, продолжающих ММ272.
В качестве не очень интересного предложу такой вариант: сколько решений в зависимости от значений натурального параметра $f(k)$ может иметь задача «Найти все натуральные $n$ такие, что $\tau(n)=g(k)$. Не исключаю, что для каких-то функций от $k$ оно таки будет интересным.

Эстетическая оценка ММ272 оказалась существенно выше, чем оценка ММ271. Мне кажется иначе, но, как известно, "На вкус и на цвет товарища нет".

К некоторым из решений при желании можно было бы придраться из-за недостаточной строгости обоснования. Но у меня такого желания не возникло.

Награды

За решение задачи ММ272 Владимир Дорофеев, Владислав Франк, Василий Дзюбенко, Виктор Филимоненков, Денис Овчинников, Константин Шамсутдинов и Мераб Левиашвили получают по 4 призовых балла:

Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Дениса Овчинникова
MM272_Ovchinnikov.pdf [167.1 Кб]
Скачиваний: 197
Комментарий к файлу: Решение Владислава Франка
Frank_mm272.pdf [153 Кб]
Скачиваний: 195
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение27.03.2022, 12:48 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
===========ММ273===============
ММ273 (7 баллов)

Центр на стороне

В каком диапазоне может изменяться каждый из углов треугольника ($\alpha \le \beta \le \gamma$), у которого центр окружности 9 точек принадлежит, по крайней мере, одной из сторон?

Решение

Привожу решения Василия Дзюбенко, Мераба Левиашвили и Виктора Филимоненкова.

Обсуждение

ММ273 наконец-то привела к разнообразию оценок. Но гораздо ценнее разнообразие подходов. Все присланные решения существенно различаются. Причем ответом отличается только одно :-) Остальные отличия связаны с различием: свойств окружности 9 точек, использованных в решениях; методов (координаты, тригонометрия, дополнительные построения); полнотой и строгостью обоснований.

В текущем конкурсе Марафон впервые проходят по правилам, при которых обобщения и аналоги поощряются дополнительными баллами только в порядке исключения. Однако пункт о поощрении участников за красоту и изящество решений никто не отменял. Чем я и воспользовался.

Мне больше других понравились решения Мераба Левиашвили и Василия Дзюбенко. Однако дополнительный балл Василия нивелирован баллом, вычтенным за один нюанс (Василий сам называет этот момент в своем решении словом "нюанс"): те условия, которые вывел Василий в первой части решения, действительно являются не только необходимыми, но и достаточными для принадлежности центра окружности 9 точек одной из сторон; но те условия, которые сформулированы в ответе, конечно же, достаточными не являются.

Выношу эти решения на суд участников и болельщиков. Было бы интересно услышать ваши мнения.

Награды

За решение задачи ММ273 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 8;
Василий Дзюбенко - 7;
Виктор Филимоненков - 7;
Денис Овчинников - 7;
Константин Шамсутдинов - 6;
Владимир Дорофеев - 5;
Владислав Франк - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Виктора Филимоненкова
273_fiviol.docx [24.76 Кб]
Скачиваний: 190
Комментарий к файлу: Решение Мераба Левиашвили
273 Решение М.Л.docx [134.85 Кб]
Скачиваний: 188
Комментарий к файлу: Решение Василия Дзюбенко
MM273_Dziubenko.pdf [118.48 Кб]
Скачиваний: 193
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение27.03.2022, 15:44 


23/06/18
3
Не согласен с ведущим по поводу своего решения. В ответе написаны, конечно же, не достаточные условия, в ответе написан ответ к задаче: диапазон каждого из углов треугольника. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение27.03.2022, 17:19 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
vasiliydz в сообщении #1551182 писал(а):
Не согласен с ведущим по поводу своего решения. В ответе написаны, конечно же, не достаточные условия, в ответе написан ответ к задаче: диапазон каждого из углов треугольника. :D

К ответу претензий нет. И оценка за задачу не снижена. :-)
Но, на мой взгляд, в самом решении присутствует неаккуратное рассуждение (нюанс), которое можно понять неоднозначно. И это помешало мне добавить дополнительный балл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение03.04.2022, 09:01 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
===========ММ274===============
ММ274 (6 баллов)

Эти поля слишком малы…

Сколько существует конечных полей, в мультипликативной группе которых число подгрупп равно числу порождающих элементов?

Решение

Привожу решения Владислава Франка, Мераба Левиашвили и Виктора Филимоненкова.

Обсуждение

Для всех прошедших конкурсов (за исключением самых древних) характерна одна и та же картина: где-то ближе к середине конкурса начинается отток конкурсантов. Текущий конкурс - не исключение. На ММ274 получено наименьшее количество откликов :-(

Как появилась ММ274? Мое внимание привлек тот факт, что каждое из натуральных чисел $n$, для которых $\varphi(n)=\tau(n)$, на 1 меньше некоторой степени простого числа. Тем самым, чисто арифметическую задачу удалось сформулировать как алгебраическую (возможно, отпугнув при этом некоторых конкурсантов).

Константин Шамсутдинов потерял один случай (самый тривиальный).
У Дениса Овчинникова снят 1 балл, поскольку в его решении (идентичном приведенным) нигде не упоминается, какие числа годятся в качестве количества элементов конечного поля. Вполне возможно, Денис подразумевал это, но я не умею читать мысли на расстоянии (вблизи иногда получается).

Награды

За решение задачи ММ274 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 6;
Виктор Филимоненков - 6;
Владислав Франк - 6;
Денис Овчинников - 5;
Константин Шамсутдинов - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Мераба Левиашвили
MM274 решение М.Л.docx [17.14 Кб]
Скачиваний: 187
Комментарий к файлу: Решение Виктора Филимоненкова
274_fiviol.docx [15.14 Кб]
Скачиваний: 186
Комментарий к файлу: Решение Влада Франка
Frank_mm274.pdf [154.79 Кб]
Скачиваний: 194
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение05.04.2022, 12:14 


02/04/18
240
VAL в сообщении #1551707 писал(а):
Вполне возможно, Денис подразумевал это

Нет, не подразумаевал. ТЧ не особо близкая мне тема, поэтому некоторые очевидные вещи могу проговаривать излишне подробно, и наоборот, какие-то вещи, которые следует специально оговаривать, пропускаю. В итоге, делаю вывод из обзора решений: правильно сделал, когда перешел к "уравнению", но неправильно, когда не вернулся обратно, тем самым упустив возможность исключить избыточные решения (повезло, что их не было).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение05.04.2022, 13:36 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
В таком случае (без опоры на теорему существования и единственности) ответ и вовсе мог оказаться любым. Ведь в задаче спрашивалось о количестве полей, а не о количестве элементов в этих полях.
Вдруг, для какого-го количества элементов нашлось бы более одного подходящего поля?
Например, существует 5 различных (неизоморфных) групп, имеющих по 8 элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение10.04.2022, 11:34 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
===========ММ275===============
ММ275 (9 баллов)

Точки вокруг треугольника

Будем говорить, что треугольник относится к классу $k$, если на плоскости существует ровно $k$ точек таких, что выпуклый четырехугольник с вершинами в вершинах исходного треугольника и в данной точке разбивается своей диагональю, являющейся стороной исходного треугольника, на 2 подобных треугольника. Какие значения может принимать $k$?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова (краткое) и Мераба Левиашвили (подробное).

Обсуждение

Все присланные решения по сути идентичны. Различия в подробности обоснования. Два балла сняты у Владимира Дорофеева, у которого эти побробности вовсе отсутствуют.

Цена задачи оказалась явно завышена. Это связано исключительно с не слишком рациональным перебором случаев в авторском решении.

Впервые конкурсанты оказались единодушны в оценке задачи. Средняя совпадает с каждой из присланных.

Награды

За решение задачи ММ275 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 9;
Виктор Филимоненков - 9;
Владислав Франк - 9;
Константин Шамсутдинов - 9;
Владимир Дорофеев - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Мераба Левиашвили
MM275 решение М.Л.docx [1.3 Мб]
Скачиваний: 188
Комментарий к файлу: Решение Константина Шамсутдинова
MM275_Shamsutdinov.docx [26.4 Кб]
Скачиваний: 181
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение17.04.2022, 13:15 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
===========ММ276===============
ММ276 (7 баллов)

Треугольные параболы

Рассмотрим 3 параболы, связанных с треугольником. Фокус каждой - одна из вершин, а директриса - прямая, содержащая противоположную сторону. Сколько точек пересечения могут иметь эти параболы?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова (аналитическое) и Мераба Левиашвили (геометрическое).

Обсуждение

Присланные решения можно условно разделить на две категории: аналитические и геометрические. Вторые показались красивее и были поощрены дополнительным баллом.

Судя по эстетическим оценкам, эта задача пока лучшая в текущем конкурсе. Разделяю это мнение.

После того, как обобщения и аналоги исходной задачи перестали поощряться дополнительными баллами, конкурсанты не стали усердствовать в этом направлении.
Но аналоги и смежные задачи от этого никуда не делись. В частности, интересен следующий факт: точки пересечения рассматриваемых парабол со сторонами треугольника принадлежат одному эллипсу. Обнаружив этот факт, я нисколько не сомневался, что он известен. Так и оказалось. Неожиданным было другое: по-видимому, он стал известен совсем недавно.
Вот ссылка на заметку Цезаря Лосады. По ней можно найти ссылки на Эммануэля Гарсию и Барри Уолка. Их публикация датирована декабрем 2019 года. Ничего более раннего я не обнаружил. Возможно, это удастся кому-ту из конкурсантов или болельщиков.

Любопытен и такой аналог наблюдения из предыдущего абзаца. Рассмотрим три параболы, фокусом каждой из которых является какая-нибудь замечательная точка треугольника, а директрисами - прямые содержащие стороны. (Беглый и не слишком аккуратный) анализ показывает, что, в зависимости от выбора заметательной точки, 6 точек пересечения этих парабол со сторонами (продолжениями сторон) исходного треугольника могут лежать или не лежать на одной кривой второго порядка. Тем самым, одни замечательные точки "более замечательны", чем другие.

В общем, интересных вопросов - море.

Награды

За решение задачи ММ276 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 8;
Виктор Филимоненков - 8;
Константин Шамсутдинов - 8;
Владислав Франк - 7;
Денис Овчинников - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Мераба Левиашвили
MM276 решение М.Л..pdf [766.99 Кб]
Скачиваний: 182
Комментарий к файлу: Решение Дениса Овчинникова
MM276_Ovchinnikov.pdf [182.97 Кб]
Скачиваний: 181
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение24.04.2022, 11:46 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
===========ММ277===============
ММ277 (7 баллов)

Ну очень искусственная функция

Для каждого натурального n большего 2 обозначим:
через $g(n)$ максимум сумм попарных НОД слагаемых, при представлении $n$ в виде суммы трех натуральных слагаемых;
через $f(n)$ –– $\frac{g(n)}n $;
через $F(n)$ –– $f(n) + f(n+1) + … + f(n+9)$.
Чему равно наибольшее значение $F(n)$?
Может ли $F(n)$ быть меньше 7.1?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова, Константина Шамсутдинова и Виктора Филимоненкова.

Обсуждение

Все полученные решения в идейном плане близки. Но отличаются техникой и подробностями.

Я полагал, что эстетическая оценка будет невысока (см. эпиграф). Но нет. Больших перепадов в оценках нет. А один из участников и вовсе отметил задачу, как самую лучшую в конкурсе.

Обобщения и аналоги (почему собственно 3 и 10 слагаемых?) вполне естественны. Но в новых условиях оценивания никто на них не замахнулся.

Награды

За решение задачи ММ277 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 7;
Виктор Филимоненков - 7;
Константин Шамсутдинов - 7;
Владислав Франк - 7;
Денис Овчинников - 7;
Владимир Дорофеев - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Константина Шамсутдинова
MM277_Shams.docx [24.87 Кб]
Скачиваний: 183
Комментарий к файлу: Решение Дениса Овчинникова
MM277_Ovchinnikov.pdf [189.5 Кб]
Скачиваний: 188
Комментарий к файлу: Решение Виктора Филимоненкова
277_Fiviol.docx [24.44 Кб]
Скачиваний: 176
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение09.05.2022, 09:10 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Разбор ММ278 будет опубликован 10.05.22

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение10.05.2022, 15:46 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
===========ММ278===============
ММ278 (6 баллов)

Правильные в правильных

Назовем сечение выпуклого многогранника диагональным, если каждая сторона многоугольника сечения является диагональю грани. Какие многоугольники могут быть диагональными сечениями правильных многогранников?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова (краткое) и Мераба Левиашвили (подробное).

Обсуждение

Большинство конкурсантов прислали решения значительно проще авторского. Я сразу нашел в додекаэдре треугольное (вторые концы трех ребер, имеющих общую вершину), квадратное (вторые концы ребер, смежных данному ребру) и пятиугольное (вторые концы ребер, исходящих из вершин пятиугольной грани) сечения, а затем потратил некоторые усилия на проверку отсутствия других подходящих сечений, пройдя мимо очевидного факта равноправия всех диагоналей граней додекаэдра.

Награды

За решение задачи ММ277 конкурсантам начислены следующие призовые баллы:
Мераб Левиашвили - 6;
Виктор Филимоненков - 6;
Константин Шамсутдинов - 6;
Денис Овчинников - 6;
Владислав Франк - 3 (Влад ухитрился потерять пятиугольные сечения додекаэдра).

Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Мераба Левиашвили
MM278 решение М.Л.docx [1.48 Мб]
Скачиваний: 176
Комментарий к файлу: Решение Константина Шамсутдинова
MM278_Shams.docx [42.02 Кб]
Скачиваний: 182
 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 861 ]  На страницу Пред.  1 ... 54, 55, 56, 57, 58  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group