Нормировка волновой функции свободной частицы

[kzv]

Здравствуйте.

Помогите пожалуйста разобраться с тем, как ищется нормировочный коэффициент у волновой функции свободной частицы?
Допустим хочу решить уравнение:

$$\hat{P}\psi = p\psi$$

в координатном представлении, в одномерном случае, для оператора импульса:

$$-i\hbar\frac{d\psi}{dx}=p\psi$$

Решение получается - волной де-Бройля

$$\psi=Ae^{\frac{i}{\hbar}px}$$

где $A$ - это нормировочная постоянная которую я не понимаю как искать.

Способ 1: Вероятность найти частицу хоть где-то в пространстве равна единице, значит:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi\psi^*dx=1$$

Увы, как это ни странно, но не получается.

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi\psi^*dx=A^2\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx=\infty=1$$

Способ 2: Непонятно, как это физически интерпретировать, но под известный ответ вроде бы можно подогнать:

$$1=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi(p)\psi^*(p^\prime)dxdp=A^2\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i\frac{p-p\prime}{\hbar}x}dxdp=A^2\int\limits_{-\infty}^{\infty}2\pi\hbar\delta(p-p^\prime)dp=2\pi\hbar A^2$$

Собственно два вопроса: почему не работает первый способ и правильный ли (если да, то почему) второй?

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1553235 писал(а):

почему не работает первый способ и правильный ли (если да, то почему) второй?

Потому что 2й способ это ошибка на ошибке. Посмотрите по каким переменным вы интегрируете.

[kzv]

Red_Herring в сообщении #1553238 писал(а):

Посмотрите по каким переменным вы интегрируете.

Интеграл по $dx$ дает дельта-функцию, что не так?
С интегралом от дельта-функции да, я не уверен в корректности.

[Osmiy]

Волновая функция свободной частицы (плоская волна) не имеет вероятностную интерпретацию. Интеграл там не сходится.

[kzv]

Osmiy в сообщении #1553249 писал(а):

Волновая функция свободной частицы (плоская волна) не имеет вероятностную интерпретацию

А какую интерпретацию она имеет?

[Osmiy]

kzv в сообщении #1553251 писал(а):

Osmiy в сообщении #1553249 писал(а):

Волновая функция свободной частицы (плоская волна) не имеет вероятностную интерпретацию

А какую интерпретацию она имеет?

Если быть
совсем точным, она не является функцией плотности вероятности нахождения частицы в той или иной точке пространства. Но может быть интерпретирована как функция плотности вероятности иметь тот или иной импульс частицы. Но относится ли это к плоской волне или только в волновому пакету (который не является уже плоской волной) я не знаю.

-- 22.04.2022, 19:56 --

Нормировка волн де Бройля есть в каждом пособии по КМ.

[kzv]

Osmiy в сообщении #1553253 писал(а):

совсем точным, она не является функцией плотности вероятности нахождения частицы в той или иной точке пространства. Но может быть интерпретирована как функция плотности вероятности иметь тот или иной импульс частицы.

Странно это. По своей форме эта функция является как собственной функцией оператора импульса в координатном представлении, так и собственной функцией оператора координаты в импульсном представлении. Координата и импульс, в этом смысле, абсолютно симметричны.

[lel0lel]

Поместите частицу в ящик с непроницаемыми стенками, нормируйте и переходите к пределу бесконечно большого ящика.

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1553239 писал(а):

Интеграл по $dx$ дает дельта-функцию, что не так?
С интегралом от дельта-функции да, я не уверен в корректности.

Уже в первом выражении после $1=$ у вас ошибка. И из-за неё всё остальное неверно.

[kzv]

lel0lel в сообщении #1553256 писал(а):

Поместите частицу в ящик с непроницаемыми стенками, нормируйте и переходите к пределу бесконечно большого ящика.

А а почему мы имеем право считать, что это получится то же самое, что и "свободная частица"?

Red_Herring в сообщении #1553257 писал(а):

Уже в первом выражении после $1=$ у вас ошибка. И из-за неё всё остальное неверно.

Но ответ-то в итоге почему-то верный?!

$$A=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$$

Могу более математически корректно записать

$$1=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi(x,p)\psi^*(x,p^\prime)dxdp=A^2\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{i\frac{p-p\prime}{\hbar}x}dxdp=A^2\int\limits_{-\infty}^{\infty}2\pi\hbar\delta(p-p^\prime)dp=2\pi\hbar A^2$$

Я же понимаю, что это подгонка под результат, но разве помещение частицы в конечный ящик, а потом устремление стенок к бесконечности - это не подгонка? Физически, можете мне объяснить, почему обычная нормировка не получается, а надо что-то выдумывать?

[Osmiy]

kzv в сообщении #1553258 писал(а):

Физически, можете мне объяснить, почему обычная нормировка не получается, а надо что-то выдумывать?

Плоская волна это идеалистический предельный случай, невыполнимый в реальной жизни.

[Red_Herring]

kzv в сообщении #1553258 писал(а):

Но ответ-то в итоге почему-то верный?!

Переделайте все это вычисление и получится бесконечность для
интеграла от $\int \psi^*(p)\psi(p)\,dp$ (в импульсном представлении). А вот откуда эта нормировка берётся я вам объясню после.

[lel0lel]

kzv в сообщении #1553258 писал(а):

почему мы имеем право считать, что это получится то же самое, что и "свободная частица

Потому как никто ещё не видел бесконечного пространства.

[kzv]

Red_Herring в сообщении #1553260 писал(а):

Переделайте все это вычисление и получится бесконечность для
интеграла от $\int \psi^*(p)\psi(p)\,dp$ (в импульсном представлении). А вот откуда эта нормировка берётся я вам объясню после.

$$\hat{X}\psi = x\psi$$

в импульсном представлении, в одномерном случае, для оператора координаты:

$$i\hbar\frac{d\psi}{dp}=x\psi$$

Решение получается - сопряженной волной де-Бройля

$$\psi=Ae^{-\frac{i}{\hbar}px}$$

где $A$ - это нормировочная постоянная которую я не понимаю как искать.

Способ 1: Вероятность найти частицу хоть с каким-то импульсом равна единице, значит:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi\psi^*dp=1$$

Увы, как это ни странно, но не получается.

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi(p)\psi^*(p)dp=A^2\int\limits_{-\infty}^{\infty}dp=\infty=1$$

[Osmiy]

kzv в сообщении #1553262 писал(а):

Способ 1: Вероятность найти частицу хоть с каким-то импульсом равна единице, значит:

Там вроде надо брать волновой пакет. Но это не точно. Лучше посмотрите какую либо книгу.