еще одно свойство уравнения
![$(6)$ $(6)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d557f43c2185767d51b0976001c23c8382.png)
: если пара
![$(x_0,y_0)$ $(x_0,y_0)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/e/a5ea27cb355f1e7cd8f10223c3b158e782.png)
является решением
![$(6)$ $(6)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d557f43c2185767d51b0976001c23c8382.png)
, то пары
![$(x_0,1/y_0);(1/x_0,y_0);(1/x_0,1/y_0)$ $(x_0,1/y_0);(1/x_0,y_0);(1/x_0,1/y_0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/7/bb747052fc840870bdd355de0551949782.png)
– также решения. Кроме того, пара
![$x_1=\sqrt{\dfrac{(x_0y_0)^2-1}{x_0^2-y_0^2}},\ y_1=\sqrt{\dfrac{(x_0y_0+1)(x_0-y_0)}{(x_0y_0-1)(x_0+y_0)}}$ $x_1=\sqrt{\dfrac{(x_0y_0)^2-1}{x_0^2-y_0^2}},\ y_1=\sqrt{\dfrac{(x_0y_0+1)(x_0-y_0)}{(x_0y_0-1)(x_0+y_0)}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/e/08eca50133deaa936b44b99aab7fb45982.png)
также является решением
![$(6)$ $(6)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d557f43c2185767d51b0976001c23c8382.png)
, что позволяет строить цепочки решений...
Попытки решить "в лоб" уравнение
![$((XY)^2-1)(X^2-Y^2)=Z^2\ (6)$ $((XY)^2-1)(X^2-Y^2)=Z^2\ (6)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/9/729c66e99e481654216cd60976fd6a2182.png)
приводят к выражению
![$\left\{
\begin{array}{rcl}
X &=& \dfrac {v(u^2-1)+\sqrt{((uv)^2-1)(u^2-v^2)}}{u(v^2-1)} \\
Y &=& \dfrac {v(u^2+1)+\sqrt{((uv)^2-1)(u^2-v^2)}}{u(v^2+1)} \\
\end{array}
\right.$ $\left\{
\begin{array}{rcl}
X &=& \dfrac {v(u^2-1)+\sqrt{((uv)^2-1)(u^2-v^2)}}{u(v^2-1)} \\
Y &=& \dfrac {v(u^2+1)+\sqrt{((uv)^2-1)(u^2-v^2)}}{u(v^2+1)} \\
\end{array}
\right.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/b/c7b243c0533c2c989393eff4fec1afde82.png)
. Как видим, под радикалом возникает само исследуемое уравнение, то есть проблема замыкается сама на себя. Вместо формулы снова получаем возможность строить цепочки решений из некого первоначального, хотя и общего порядка:
![$\left\{
\begin{array}{rcl}
X_{n+1} &=& \dfrac {Y_n(X_n^2-1)+Z_n}{X_n(Y_n^2-1)} \\
Y_{n+1} &=& \dfrac {Y_n(X_n^2+1)+Z_n}{X_n(Y_n^2+1)} \\
\end{array}
\right.$ $\left\{
\begin{array}{rcl}
X_{n+1} &=& \dfrac {Y_n(X_n^2-1)+Z_n}{X_n(Y_n^2-1)} \\
Y_{n+1} &=& \dfrac {Y_n(X_n^2+1)+Z_n}{X_n(Y_n^2+1)} \\
\end{array}
\right.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/b/71b32414cc06bb6e7e433361412f277182.png)
. Исходя из тривиального решения
![$Y=1$ $Y=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9ac97051ce94e9fdf240c6df4dc795b82.png)
быстро приходим к нулю в знаменателе. Есть еще решение
![$X=1$ $X=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/7/5e7d80aaf3a27dbbb9ee433d7ef1fe6c82.png)
в комплексных числах. Оно, кстати, не ведет в тупик, но этим пока не занимался. Что ж, будем исходить из имеющегося:
![$$\begin{Vmatrix}
n & X & Y & Z\\
1 & \frac{2(m^2+1)}{3m} & \frac{3(m^4-m^2+1)}{(m^2+1)^2} & \frac{(m^2-1)(m^2-3m+1)(m^2+3m+1)(2m^2-3m+2)(2m^2+3m+2)}{3m^2 (m^2+1)^3}\\
2 & \frac{m(m^2-2)}{2m^2-1} & \frac{m(2m^4-2m^2+5)}{5m^4-2m^2+2} & \frac{6m(m^2-1) (m^2+1)^2 (m^2-3m+1)(m^2+3m+1)(m^4-m^2+1)}{(2m^2-1)^2 (5m^4-2m^2+2)^2}\\
3 & \frac{(2m^2-3m+2)(2m^2+3m+2)}{(m^2-2)(2m^2-1)} & \frac{(m^2-2)(4m^2+1)}{(m^2+4)(2m^2-1)} & \frac{24m(m^2+1)(2m^4-2m^2+5)(5m^4-2m^2+2)}{(m^2-2) (m^2+4)^2 (2m^2-1)^3}\\
4 & \frac{(m+1)(m^2+3m+1)(2m^2-3m+2)}{(m-1)(m^2-3m+1)(2m^2+3m+2)} & \frac{2m^2+3m+2}{2m^2-3m+2} & \frac{4m(m^2-2)(m^2+4)(2m^2-1)(4m^2+1)}{(m-1)^2 (m^2-3m+1)^2 (2m^2-3m+2)(2m^2+3m+2)}\\
5 & \frac{3(m^4-1)}{(m^2-3m+1)(m^2+3m+1)} & \frac{(m-1)(m^2+3m+1)}{(m+1)(m^2-3m+1)} & \frac{(m-1)(m^2-2)(2m^2-1)(2m^2-3m+2)(2m^2+3m+2)}{(m+1) (m^2-3m+1)^3 (m^2+3m+1)}\\
& \frac{2(m^2+1)}{3m} & \frac{3(m^4-m^2+1)}{(m^2+1)^2} & ...
\end{Vmatrix}$$ $$\begin{Vmatrix}
n & X & Y & Z\\
1 & \frac{2(m^2+1)}{3m} & \frac{3(m^4-m^2+1)}{(m^2+1)^2} & \frac{(m^2-1)(m^2-3m+1)(m^2+3m+1)(2m^2-3m+2)(2m^2+3m+2)}{3m^2 (m^2+1)^3}\\
2 & \frac{m(m^2-2)}{2m^2-1} & \frac{m(2m^4-2m^2+5)}{5m^4-2m^2+2} & \frac{6m(m^2-1) (m^2+1)^2 (m^2-3m+1)(m^2+3m+1)(m^4-m^2+1)}{(2m^2-1)^2 (5m^4-2m^2+2)^2}\\
3 & \frac{(2m^2-3m+2)(2m^2+3m+2)}{(m^2-2)(2m^2-1)} & \frac{(m^2-2)(4m^2+1)}{(m^2+4)(2m^2-1)} & \frac{24m(m^2+1)(2m^4-2m^2+5)(5m^4-2m^2+2)}{(m^2-2) (m^2+4)^2 (2m^2-1)^3}\\
4 & \frac{(m+1)(m^2+3m+1)(2m^2-3m+2)}{(m-1)(m^2-3m+1)(2m^2+3m+2)} & \frac{2m^2+3m+2}{2m^2-3m+2} & \frac{4m(m^2-2)(m^2+4)(2m^2-1)(4m^2+1)}{(m-1)^2 (m^2-3m+1)^2 (2m^2-3m+2)(2m^2+3m+2)}\\
5 & \frac{3(m^4-1)}{(m^2-3m+1)(m^2+3m+1)} & \frac{(m-1)(m^2+3m+1)}{(m+1)(m^2-3m+1)} & \frac{(m-1)(m^2-2)(2m^2-1)(2m^2-3m+2)(2m^2+3m+2)}{(m+1) (m^2-3m+1)^3 (m^2+3m+1)}\\
& \frac{2(m^2+1)}{3m} & \frac{3(m^4-m^2+1)}{(m^2+1)^2} & ...
\end{Vmatrix}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/2/0c26536b79625ad4419fbf7b83e7293782.png)
Подробно выписанная замкнутая последовательность от 15.01.2021 в обратном движении, что и не удивительно. Для нее выполняется
Исправлено 02.08.2022О существовании других решений уравнения
![$(6)$ $(6)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d557f43c2185767d51b0976001c23c8382.png)
мне ничего не известно. На сей счет даже
scwec не соизволил высказаться. По которому здесь скучают.
Теперь к чему всё это. Дело в том, что система
![$\left\{\begin{matrix}
\left [ (K^2+1)(T^2+1) \right ]^2-(4KT)^2=\square \\
\left [ (K^2+1)(T^2+1) \right ]^2-\left [ 2K(T^2-1) \right ]^2=\square
\end{matrix}\right.(4)$ $\left\{\begin{matrix}
\left [ (K^2+1)(T^2+1) \right ]^2-(4KT)^2=\square \\
\left [ (K^2+1)(T^2+1) \right ]^2-\left [ 2K(T^2-1) \right ]^2=\square
\end{matrix}\right.(4)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/a/9dabbb351c6be0afcaeb026318e4975082.png)
и эквивалентная ей система
![$\left\{\begin{matrix}
\left [ (KT+1)^2+(K+T)^2 \right ]\left [ (KT-1)^2+(K-T)^2 \right ]=\square \\
\left [ (KT+T)^2+(K-1)^2 \right ]\left [ (KT-T)^2+(K+1)^2 \right ]=\square
\end{matrix}\right.(4')$ $\left\{\begin{matrix}
\left [ (KT+1)^2+(K+T)^2 \right ]\left [ (KT-1)^2+(K-T)^2 \right ]=\square \\
\left [ (KT+T)^2+(K-1)^2 \right ]\left [ (KT-T)^2+(K+1)^2 \right ]=\square
\end{matrix}\right.(4')$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/b/2cb4ee054a0d4e428e1edc15be1df55582.png)
прямо зависят от уравнения
![$(6)$ $(6)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d557f43c2185767d51b0976001c23c8382.png)
. Напомню, если параметры
![$K,T$ $K,T$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/9/8c9fd30ab5de7e61fa56fd6a9e336c3682.png)
удовлетворяют
![$(4)$ $(4)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/e/c2e27d5dc3a5c37211768bd7e35bb67e82.png)
, то
![$A=4KT,B=2K(T^2-1),C=(K^2-1)(T^2+1)$ $A=4KT,B=2K(T^2-1),C=(K^2-1)(T^2+1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/4/3a411693bd954a4bbdcafe0c3066d49082.png)
— решение кубоида. Пусть теперь пара
![$X_0,Y_0$ $X_0,Y_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/4/404e83e60ced2a52c20cf88c5a0d00d582.png)
удовлетворяет уравнению
![$(6)$ $(6)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d557f43c2185767d51b0976001c23c8382.png)
. Тогда пара
![$K_1=Y_0,T_1=\sqrt{\dfrac{(X_0+Y_0 )(X_0 Y_0-1)}{(X_0-Y_0 )(X_0 Y_0+1) }}$ $K_1=Y_0,T_1=\sqrt{\dfrac{(X_0+Y_0 )(X_0 Y_0-1)}{(X_0-Y_0 )(X_0 Y_0+1) }}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/6/e36a43f37b5842843577d3caba16f67282.png)
удовлетворяет первому уравнению системы
![$(4)$ $(4)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/e/c2e27d5dc3a5c37211768bd7e35bb67e82.png)
, а пара
![$K_2=\dfrac{\sqrt{\dfrac{X_0^2 Y_0^2-1}{X_0^2-Y_0^2}}+1}{\sqrt{\dfrac{X_0^2 Y_0^2-1}{X_0^2-Y_0^2}}-1},T_2=X_0$ $K_2=\dfrac{\sqrt{\dfrac{X_0^2 Y_0^2-1}{X_0^2-Y_0^2}}+1}{\sqrt{\dfrac{X_0^2 Y_0^2-1}{X_0^2-Y_0^2}}-1},T_2=X_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/0/650d3bc35018a68373da7d01e90027e882.png)
— второму.
В цикле это записывается проще:
![$(4.1)\ \ K_1=Y_n,T_1=Y_{n+1}$ $(4.1)\ \ K_1=Y_n,T_1=Y_{n+1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/2/6d201905de263eae3e8f4da822921cac82.png)
![$(4.2)\ \ K_2=Y_{n-2},T_2=X_{n+1}$ $(4.2)\ \ K_2=Y_{n-2},T_2=X_{n+1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/b/f1b3cd24aadd3f5a157865ef339c79f682.png)
Остается приравнять параметры
![$K,T.$ $K,T.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/b/b0bbadf884037a7270d9a1f345d963f982.png)
Если предположить, что нужные решения
![$(6)$ $(6)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d557f43c2185767d51b0976001c23c8382.png)
принадлежат разным циклам, получаем систему из двух уравнений степени
![$>4$ $>4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/5/5f590dc368930793818a8eacf6f6f85682.png)
или
![$\gg 4 $ $\gg 4 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/1/04181bd7e151af4416baeff3c601195082.png)
, разрешимость которой в рациональных числах маловероятна. Тут могу ошибаться, но в рамках одного цикла одно равенство достигается параметрически, и остается одно уравнение. В силу симметрии
![$(4.1)$ $(4.1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/c/4ec57a8812ead1cf752f0d4ffd92a8ec82.png)
различимы два варианта:
1) Рациональное
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
таково, что
![$Y_n=X_{n+2}.$ $Y_n=X_{n+2}.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/4/454cab0910f92c85871d23a6a111060c82.png)
Тогда
![$K=Y_{n-1},T=Y_{n}$ $K=Y_{n-1},T=Y_{n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/7/20787b3c46e47ee5a5ec3a491e37ddee82.png)
удовлетворяют системе
![$(4).$ $(4).$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/9/de92969d8312a53a117eae9e9b304a2e82.png)
2) Рациональное
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
таково, что
![$Y_n=X_{n+4}.$ $Y_n=X_{n+4}.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/0/ad02abb60703df9ef04918e2e55cbbfb82.png)
Тогда
![$K=Y_{n+1},T=Y_{n}$ $K=Y_{n+1},T=Y_{n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/0/4305de653486314c5e7c6f15c8eb795e82.png)
удовлетворяют системе
![$(4).$ $(4).$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/9/de92969d8312a53a117eae9e9b304a2e82.png)
Индексы естественно берутся по
![$\mod 5.$ $\mod 5.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/6/7f698ee8e70eaba1d6cb56316bc21d3182.png)
Количество уравнений при таком подходе конечно, что важно. Указанный цикл мне удалось проверить в Вольфраме и не потратить много времени. Решений нет. Вернее есть, но тривиальные, для проверки годятся. Пример:
Выпишем уравнение
![$Y_3=X_7$ $Y_3=X_7$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/1/e81f1cfe03d5ee4c8af0c19dce3dabcc82.png)
(по второму варианту,
![$n=3, X_7=X_2$ $n=3, X_7=X_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/e/e5ead19f00caef4163ab2a5f28d7dbd882.png)
):
![$\dfrac{(m^2-2)(4m^2+1)}{(m^2+4)(2m^2-1)}=\dfrac{m(m^2-2)}{2m^2-1}.$ $\dfrac{(m^2-2)(4m^2+1)}{(m^2+4)(2m^2-1)}=\dfrac{m(m^2-2)}{2m^2-1}.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/0/7100acaa1c45508213240635f1019b1b82.png)
Оно имеет рациональный корень
![$K=Y_4=\dfrac{2m^2+3m+2}{2m^2-3m+2}=7,\ T=Y_3=\dfrac{(m^2-2)(4m^2+1)}{(m^2+4)(2m^2-1)}=-1.$ $K=Y_4=\dfrac{2m^2+3m+2}{2m^2-3m+2}=7,\ T=Y_3=\dfrac{(m^2-2)(4m^2+1)}{(m^2+4)(2m^2-1)}=-1.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/0/6409dc7724e804e23ccdf265a078b8bf82.png)
Пара
![$(7,-1)$ $(7,-1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/a/4da818d319a81452dbfd6dffc228c89182.png)
удовлетворяет системе
![$(4)$ $(4)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/e/c2e27d5dc3a5c37211768bd7e35bb67e82.png)
, но решения кубоида тривиальные:
![$4KT=-28,2K(T^2-1)=0,(K^2-1)(T^2+1)=96.$ $4KT=-28,2K(T^2-1)=0,(K^2-1)(T^2+1)=96.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/a/fdaad7dc3512ee2ae6634104d34396fe82.png)
Так что дело за решениями
![$(6)$ $(6)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/5/d557f43c2185767d51b0976001c23c8382.png)
и за новыми циклами.