2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение17.06.2022, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1532
Санкт-Петербург
Значения многочлена $$G(x)=9x^{14}-50x^{12}+147x^{10}-189x^8+185x^6-114x^4+36x^2+1$$ при подстановке целых $x<25$ оказываются представимы формой $p^2+q^2=G(x).$ Верно ли это для любых $x$ — не знаю, поскольку ни факторизовать многочлен, ни решить соотв. уравнение не удается. Известно только, что $G(x) \equiv 1 \mod 4.$ Всё это касается и многочлена $$H(x)=x^{14}+36x^{12}-114x^{10}+185x^8-189x^6+147x^4-50x^2+9,$$ образованного из $G(x)$ подстановкой $x \to \dfrac{1}{x}$ с последующим домножением на $x^{14}.$ Или наоборот, это как угодно. Первый раз сталкиваюсь с подобной ситуацией. Вопрос вырос из задачи о кубоиде, с которой связан непосредственно: если находится рациональное $\left| x \right| \neq  0,1$ такое, что $G(x)H(x)=\square,$ получаем частное $1$-параметрическое решение кубоида. Но об этом не спрашиваю. Хотя, не исключено что одно с другим связано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение17.06.2022, 20:00 
Заслуженный участник


20/12/10
8862
Andrey A в сообщении #1557771 писал(а):
Верно ли это для любых $x$ — не знаю
Это похоже на правду. Во всяком случае, многочлен $G(x)$ не имеет маленьких (меньших миллиона) простых делителей $p \equiv 3 \pmod{4}$.

Попробуйте представить многочлен $G(x)$ в виде суммы квадратов двух многочленов $P(x)^2+Q(x)^2$ методом неопределенных коэффициентов (которые считайте целыми). Вдруг повезет и такое представление легко отыщется.

-- Сб июн 18, 2022 00:04:52 --

Andrey A в сообщении #1557771 писал(а):
Вопрос вырос из задачи о кубоиде
А, тогда, скорее всего, не повезет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение17.06.2022, 20:48 


05/09/16
9911
Andrey A в сообщении #1557771 писал(а):
поскольку ни факторизовать многочлен,

Факторизовать не получится, т.к. например $G(25)=332309884841264085001$ простое число :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение17.06.2022, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1532
Санкт-Петербург
wrest в сообщении #1557781 писал(а):
простое число :)
Да. И это не единственный пример, хотя достаточно одного.
nnosipov в сообщении #1557775 писал(а):
... представить многочлен $G(x)$ в виде суммы квадратов двух многочленов $P(x)^2+Q(x)^2$
Тогда можно было бы сделать замену $x \to \sqrt{x}$ и получить суммы квадратов двух многочленов $P(x)+Q(x)$ для $G()$ со вдвое меньшими степенями. Но даже если брать неквадратные аргументы $=0,1 \mod 4$, сразу всё нарушается — появляются произведения простых $=3 \mod 4$ и т.д. Чудеса.
PS Нет, не понял Вас (квадраты далеко улезли)). Всё так. Но решить уравнение $G(x)=p^2+q^2$ не удается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение17.06.2022, 22:35 


21/04/22
154
Есть одна идея. Не знаю, сработает ли она. Зависит от того, возможно ли решить некоторую систему из 7 линейных уравнений с 7 неизвестными.

Предположим, что для некоторых целых $x_i$, где $i \in [0,6]$ мы знаем представление в виде суммы квадратов. То есть, $G(x_i) = p_i^2+q_i^2$. Будем искать представление $G(x)$ в виде суммы квадратов двух других многочленов.

Пусть $G(x) = P(x)^2 + Q(x)^2$, где $P(x) = \sum_{j=0}^6 y_jx^j$, $Q(x) = \sum_{j=0}^6 z_jx^j$.

Тогда коэффициенты многочлена $P(x)$ можно найти, решив систему из семи уравнений
$$p_i = P(x_i) = \sum_{j=0}^6y_jx_i^j$$. Аналогично находятся коэффициенты $Q(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение17.06.2022, 23:05 
Заслуженный участник


14/10/14
1143
Интересно, бывает ли многочлен с целыми коэффициентами, у которого все значения -- суммы квадратов двух целых чисел, но сам он не сумма квадратов двух многочленов?

Если у многочлена с целыми коэффициентами все значения -- квадраты целых чисел, то и сам он квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение18.06.2022, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1532
Санкт-Петербург
$G(0)=1^2+0^2.$
$G(1)=5^2+0^2=4^2+3^2.$
$G(2)=231^2+40^2=220^2+81^2=185^2+144^2=175^2+156^2.$
$G(3)=4860^2+649^2=4599^2+1700^2$
$G(4)=41377^2+2736^2=40488^2+8959^2=31460^2+27015^2.$
$G(5)=209615^2+12276^2=207345^2+33124^2 $=177999^2+111380^2=166001^2+128580^2.$
$G(6)=775855^2+55380^2=771732^2+297199^2 $=713647^2+309396^2=675705^2+385280^2$
mathematician123
Это на всякий случай, если Вы возьметесь составить систему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение18.06.2022, 03:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8862
Все оказалось гораздо проще: этот $G(x)$ факторизуется над $\mathbb{Q}(i)$ (собственно, это и есть критерий представимости в виде суммы квадратов двух многочленов). Отсюда находим $G(x)=P(x)^2+Q(x)^2$, где $P(x)=3x^7-9x^5+9x^3-6x$, $Q(x)=2x^6+3x^4-1$.

-- Сб июн 18, 2022 07:58:56 --

Slav-27 в сообщении #1557795 писал(а):
Интересно, бывает ли многочлен с целыми коэффициентами, у которого все значения -- суммы квадратов двух целых чисел, но сам он не сумма квадратов двух многочленов?
Тоже задумался. Надо поискать, возможно, ответ уже известен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение18.06.2022, 08:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1532
Санкт-Петербург
nnosipov
Спасибо большое, просто и красиво — как раз то что нужно. Эх, хорошо бы самому сообразить, но вот, чуть повыше степени — и не знаешь с какого края зайти. Они ведь еще и факторизуются: $$G(x)=\left ( 3x(x^2-2)(x^4-x^2+1) \right )^2+\left ( (2x^2-1)(x^2+1)^2 \right )^2$$ $$H(x)=\left ( 3(2x^2-1)(x^4-x^2+1) \right )^2+\left ( x(x^2-2)(x^2+1)^2 \right )^2$$ Причем произведение всех скобок в том и другом случае одинаково. Получаем задачу вида $\left ( (AC)^2+(BD)^2 \right )\left ( (AD)^2+(BC)^2 \right )=\square.$ Вполне гуманный вопрос, да и было уже что-то похожее. Но не буду здесь углубляться, еще раз спасибо! На самом деле я на Вольфрам понадеялся, он ведь факторизует по умолчанию над $\mathbb{Q}(i)$, а тут не стал ) Нужен, видимо, какой-то специальный запрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение18.06.2022, 08:08 
Заслуженный участник


20/12/10
8862
Andrey A в сообщении #1557813 писал(а):
он ведь факторизует по умолчанию над $\mathbb{Q}(i)$
Вообще-то, по умолчанию они (системы компьютерной алгебры) факторизуют над $\mathbb{Q}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение18.06.2022, 08:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1532
Санкт-Петербург
Это да, но зависит от контекста https://www.wolframalpha.com/input?i=Factor+a%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%2Bd%5E2%2B2*a*b%2B2*c*d

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение21.06.2022, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1532
Санкт-Петербург
В. В. Прасолов, “Суммы квадратов многочленов” Матем. обр.,1999.

PS Тема в пр/р просится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение19.08.2022, 15:28 
Заслуженный участник


20/12/10
8862
nnosipov в сообщении #1557808 писал(а):
Надо поискать, возможно, ответ уже известен.
Да, у Прасолова в "Многочленах" нашелся: на стр. 311 (изд. 2014 года) дана ссылка на статью Davenport H., Lewis D. J., Schinzel A., Polynomials of certain special types, Acta Arithm. 9 (1964), 108-116.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение20.08.2022, 00:04 
Заслуженный участник


14/10/14
1143
nnosipov, здорово, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group