Мальчик на льду

[fred1996]

waxtep
У меня система координат такая, что сторона лежит на оси $x$, а ось $y$ ей перпендикулярна.
Соответственно по оси $y$ Ускорение постоянно, а по оси $x$ тоже постоянно, но в середине меняет знак.
Соответственно траектория представляет собой две симметричные параболы, склеенные посерёдке.
Возможно в вычислениях я где-то и напутал. Но за логику ручаюсь. :)
Да и предел для отрезка (двухугольника) даёт правильный ответ.

[waxtep]

fred1996 в сообщении #1552130 писал(а):

Возведём 1. в квадрат и подставим туда выражение для $v^2$ из 3.

Получаем

$t^2 = \frac{2\sin^4(\alpha)}{a_y\sin(2\alpha)+\sqrt{a^2-a_y^2}}$

Вот тут синусы чересчур распрыгались, на самом деле должно быть

$$t^2 = \frac{2b}{2a_y\ctg\alpha+\sqrt{a^2-a_y^2}}$$

и тогда у нас с Вами ответ для треугольника совпадет, в Ваших обозначениях период $T=6\left(\dfrac37\right)^{1/4}\sqrt{\dfrac{2b}a}$
Но это ведь точно не оптимально: даже если не доверять вариационному колдунству, движение по описанной окружности быстрее: $\dfrac{2\pi}{3^{1/4}}\approx4.7742<6\left(\dfrac37\right)^{1/4}\approx4.8546$

Если отвлечься от арифметики, решение из двух сопряженных дуг параболы вот чем смущает по физ. смыслу: тангенциальное ускорение терпит разрыв над серединой стороны, "бьемся об стык рельсов", и это хороший кандидат на оптимизацию. Для описанной окружности и решения вар. задачи такого нет, там ускорение строго нормально напротив середины стороны

[fred1996]

waxtep
А вас не смущает, что при обегании отрезка тангенциальное ускорение тоже терпит разрыв.
Это стандартная ситуация для минимизации по времени, когда мы сначала максимально ускоряемся, а потом максимально замедляемся. Здесь нет никакого криминала. Ведь в условии задачи не сказано, что ускорение не может терпеть разрыв.
Ну и если вы внимательнее присмотритесь, то синусы у меня не распрыгались.

[Sender]

fred1996 в сообщении #1552107 писал(а):

Действительно, чтобы уменьшить время пробегания, нам надо на каком-то участке чуток увеличить ускорение по оси $y$. Но тогда на этом участке уменьшится ускорение по оси $x$. Но тогда время по оси $x$ увеличится.

Если у нас есть некоторая траектория, проходящая через вершины, и мы на некотором малом участке увеличим $a_y$ за счёт $a_x$, то мы с неизбежностью промахнёмся мимо следующей вершины. Для компенсации этого неприятного эффекта можно, например, на каком-то другом участке увеличить $a_x$ за счёт $a_y$.

[waxtep]

fred1996 в сообщении #1552219 писал(а):

А вас не смущает, что при обегании отрезка тангенциальное ускорение тоже терпит разрыв.

В одномерии некуда с пользой отдать мощность, а в двумерной задаче такая дополнительная возможность оптимизации появляется

fred1996 в сообщении #1552219 писал(а):

Ну и если вы внимательнее присмотритесь, то синусы у меня не распрыгались.

Здесь вопрос не идейный, а чисто арифметический: $v\sin\alpha=a_yt,b=v\cos\alpha t+\frac12a_xt^2\Rightarrow v=\dfrac{a_yt}{\sin\alpha},b=\left(a_y\ctg\alpha+\frac12a_x\right)t^2$

Оптимальные значения проекций ускорения получаются другими: $a_x=\dfrac{a}{\sqrt{1+4\ctg^2\alpha}},a_y=\dfrac{2a\ctg\alpha}{\sqrt{1+4\ctg^2\alpha}}$

[fred1996]

Sender
waxtep
Господа, вынужден согласиться с вашими неубиенными доводами.
Действительно, в вариационных задачах недостаточно только локально шевелить функцию.