Возведём 1. в квадрат и подставим туда выражение для
![$v^2$ $v^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/4/5a446a74d478cbde01b29a5d0572d88382.png)
из 3.
Получаем
![$t^2 = \frac{2\sin^4(\alpha)}{a_y\sin(2\alpha)+\sqrt{a^2-a_y^2}}$ $t^2 = \frac{2\sin^4(\alpha)}{a_y\sin(2\alpha)+\sqrt{a^2-a_y^2}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/6/2a6d4599c6bd65610a76c706b01b1d2d82.png)
Вот тут синусы чересчур распрыгались, на самом деле должно быть
![$$t^2 = \frac{2b}{2a_y\ctg\alpha+\sqrt{a^2-a_y^2}}$$ $$t^2 = \frac{2b}{2a_y\ctg\alpha+\sqrt{a^2-a_y^2}}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/f/b4f62eae09ebe0af675e6dc4a6bb9f5282.png)
и тогда у нас с Вами ответ для треугольника совпадет, в Ваших обозначениях период
![$T=6\left(\dfrac37\right)^{1/4}\sqrt{\dfrac{2b}a}$ $T=6\left(\dfrac37\right)^{1/4}\sqrt{\dfrac{2b}a}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/0/080612135957b92cb1ab4a6328c9f7a482.png)
Но это ведь точно не оптимально: даже если не доверять вариационному колдунству, движение по описанной окружности быстрее:
![$\dfrac{2\pi}{3^{1/4}}\approx4.7742<6\left(\dfrac37\right)^{1/4}\approx4.8546$ $\dfrac{2\pi}{3^{1/4}}\approx4.7742<6\left(\dfrac37\right)^{1/4}\approx4.8546$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/7/657ecf971ec66ded85f93f4cf611241582.png)
Если отвлечься от арифметики, решение из двух сопряженных дуг параболы вот чем смущает по физ. смыслу: тангенциальное ускорение терпит разрыв над серединой стороны, "бьемся об стык рельсов", и это хороший кандидат на оптимизацию. Для описанной окружности и решения вар. задачи такого нет, там ускорение строго нормально напротив середины стороны