dS в криволинейных координатах

[Ben]

Всем привет!
Пусть задана система криволинейных координат $x=x(u_1,u_2,u_3)$, $y=y(u_1,u_2,u_3)$, $z=z(u_1,u_2,u_3)$
Всегда ли можно представить элемент объема как произведение $dSdu_3$
Например, вот так:
$dxdydz=\big(|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u_1,u_2,u_3)}|du_1du_2\big)du_3=dSdu_3$
То есть, выбрать нужный дифференциал, а произведение Якобиана на два других дифференциала назвать элементом площади?

[Ben]

А если вот так, ничего не упущено?

$dV=\vec du_1 \cdot (\vec du_2 \times \vec du_3)= \vec du_1 \cdot \vec dS =$

$=\big (\frac {\partial u_1}{\partial dx} dx, \frac {\partial du_1}{\partial dy} dy, \frac {\partial u_1}{\partial dz} dz\big ) \cdot \begin{pmatrix} \hat x,\ \hat y, \ \hat z \\ \frac {\partial u_2}{\partial x} dx, \ \frac {\partial u_2}{\partial y} dy, \ \frac {\partial u_2}{\partial z} dz \\ \frac {\partial u_3}{\partial dx} dx, \ \frac {\partial u_3}{\partial dy} dy, \ \frac {\partial u_3}{\partial dz} dz \end{pmatrix} = $

$=\begin{pmatrix} \frac {\partial u_1}{\partial dx} dx, \ \frac {\partial du_1}{\partial dy} dy, \ \frac {\partial u_1}{\partial dz} dz \\ \frac {\partial u_2}{\partial x} dx, \ \frac {\partial u_2}{\partial y} dy, \ \frac {\partial u_2}{\partial z} dz \\ \frac {\partial u_3}{\partial dx} dx, \ \frac {\partial u_3}{\partial dy} dy, \ \frac {\partial u_3}{\partial dz} dz \end{pmatrix}=\frac{\partial(u_1, u_2, u_3)}{\partial(x, y, z)} \cdot (dx, dy, dz)$

[svv]

Если вкратце — тут очень много ошибок. Некоторые выражения просто не имеют смысла. Некоторые не могут быть приравнены, как скаляр и вектор.

[пианист]

Судя по всему, автору вопроса нужна форма Лере-Гельфанда.
Но я так и не смог вспомнить, где данный предмет компактно изложен ;(

[svv]

Попытался уловить закономерность появления букв $d$ в частных производных:
$\begin{pmatrix} \frac {\partial u_1}{\partial {\color{magenta}d}x} dx, \ \frac {\partial {\color{magenta}d}u_1}{\partial {\color{magenta}d}y} dy, \ \frac {\partial u_1}{\partial {\color{magenta}d}z} dz \\ \frac {\partial u_2}{\partial x} dx, \ \frac {\partial u_2}{\partial y} dy, \ \frac {\partial u_2}{\partial z} dz \\ \frac {\partial u_3}{\partial {\color{magenta}d}x} dx, \ \frac {\partial u_3}{\partial {\color{magenta}d}y} dy, \ \frac {\partial u_3}{\partial{\color{magenta}d}z} dz\end{pmatrix}$
Не смог.

Частные производные тут должны быть от декартовых координат по криволинейным.

[artempalkin]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1552191 писал(а):

Не смог.

Я вижу автомобиль вид сверху

[пианист]

Ben

пианист в сообщении #1552189 писал(а):

не смог вспомнить

Вспомнил, я это у Федорюка видел.
М.В. Федорюк. Метод перевала.
Глава II, § 3, раздел 3 (второй раздел 3, "Интегралы по множествам уровня", нумерация кривая), в этом разделе нужная, как я понимаю, формула.

[svv]

пианист, спасибо за ссылку.

М.В. Федорюк в книге «Метод перевала» писал(а):

3. Интегралы по множествам уровня. Пусть $S(x)\in C^\infty(\Omega)$ — вещественнозначная функция и $S_c$ — множество уровня, заданное уравнением $S(x)=c$ ($c$ — постоянная), $x\in\Omega$. Если $S_c$ непусто и $\nabla S(x)\neq 0$ на $S_c$, то это множество является $(n-1)$-мерным $C^\infty$-многообразием в $\textbf{R}^n_x$. Дифференциальной формой Лере-Гельфанда называется форма $\omega_S$ степени $n-1$, удовлетворяющая уравнению

$$dS(x)\wedge\omega_S(x)=dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n\eqno{(3.18)}$$

Эта форма однозначно определена на $S_c$ при $x\in S_c$, если $\nabla S(x)\neq 0$ на $S_c$ ([26]).

У ТС введены криволинейные координаты $u_1,u_2,u_3$. Допустим, функции преобразования от декартовых координат к криволинейным и обратно гладкие, с ненулевым якобианом. Тогда описанное «разложение типа Лере-Гельфанда» формы объёма $dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3$ в $\mathbb E^3$ можно записать сразу:

$$dx_1\wedge dx_2 \wedge dx_3=\underbrace{du_1}_{dS} \wedge \underbrace{\left(\frac{D(x_1,x_2,x_3)}{D(u_1,u_2,u_3)}du_2\wedge du_3\right)}_{\omega_S}$$

У Федорюка $S$ — не площадь.
Хоть $\omega_S$ получена совсем не так, как описано в книге, она удовлетворяет всем условиям.

Проблема в том, что ограничение формы $\omega_S$ на $S_c$ хоть и может играть роль $2$-формы объёма (т.е. площади) на $S_c$, но такая площадь в общем случае не будет согласованной с метрикой $\mathbb E^3$. А, как я понял, автору темы хотелось бы, чтобы тут был именно элемент площади.

[пианист]

svv
Автор топика не вполне ясно изложил, чего он, собс-но, хочет, соответственно, с моей стороны это была лишь попытка угадать ;).

[svv]

Да, Вы правы, гадать приходится.

[Ben]

Вроде, как слышится, так и понимается: "выбрать нужный дифференциал, а произведение Якобиана на два других дифференциала назвать элементом площади"?
Другое дело, не объяснил зачем. Рассматривается фазовое пространство взаимодействующих частиц, для части координатного пространства,
хочется в каждом элементе объема записать связь между внешней силой и давлением в ячейке, для этого нужно выделить dS, чтобы манипулировать им, возможно, сократить. Ну вот, кажется, еще больше запутал!

2 Пианист, 2SVV. Спасибо за "Лере-Гельфанда" и Федорюка.
2SVV Дифференциалы под дифференциалами это ошибки при записи формул LateX, извините, не заметил. В последнем равенстве исходного сообщения, dxdydz нужно записать как произведение дифференциалов, а не как вектор, тогда все правильно будет.

[svv]

svv в сообщении #1552191 писал(а):

Частные производные тут должны быть от декартовых координат по криволинейным.

Набор координат $(u_i)$ в некоторой области $\mathbb E^3$ порождает в каждой её точке базис $(\vec e_{u_i})$, где
$\vec e_{u_i}=\frac{\partial\vec r}{\partial u_i}, \quad i=1,2,3$
Тут $\vec r$ — радиус-вектор. Базис этот в общем случае неортогональный. Длина базисных векторов неединичная. Они касательны к соответствующим координатным линиям, проходящим через выбранную точку. Эти векторы выражаются через векторы декартова базиса $\vec e_{x_i}$ так:
$\vec e_{u_i}=\frac{\partial\vec r}{\partial u_i}=\sum\limits_{k=1}^3\frac{\partial\vec r}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial u_i}=\sum\limits_{k=1}^3\frac{\partial x_k}{\partial u_i}\vec e_{x_k}$

Ваши векторы $\vec du_1, \vec du_2, \vec du_3$ — это частные дифференциалы радиус-вектора $\vec r$ соответственно по переменным $u_1,u_2,u_3$:
$\vec du_i=d_{u_i}\vec r=\frac{\partial\vec r}{\partial u_i}du_i=\vec e_{u_i} du_i$ (без суммирования)
Мы ищем объём (ориентированный) построенного на этих векторах параллелепипеда. Объём равен их смешанному произведению:
$(\vec du_1, \vec du_2, \vec du_3)=(\vec e_{u_1}, \vec e_{u_2}, \vec e_{u_3})\, du_1\,du_2\,du_3=...$
Смешанное произведение трёх векторов равно определителю из их декартовых компонент:
$...=(\sum\limits_{k=1}^3\frac{\partial x_k}{\partial u_1}\vec e_{x_k}, \sum\limits_{k=1}^3\frac{\partial x_k}{\partial u_2}\vec e_{x_k}, \sum\limits_{k=1}^3\frac{\partial x_k}{\partial u_3}\vec e_{x_k})\, du_1\,du_2\,du_3=$
$=\begin{vmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial u_1}&\frac{\partial x_1}{\partial u_2}&\frac{\partial x_1}{\partial u_3}\\\frac{\partial x_2}{\partial u_1}&\frac{\partial x_2}{\partial u_2}&\frac{\partial x_2}{\partial u_3}\\\frac{\partial x_3}{\partial u_1}&\frac{\partial x_3}{\partial u_2}&\frac{\partial x_3}{\partial u_3}\end{vmatrix}\, du_1\,du_2\,du_3=\frac{D(x_1,x_2,x_3)}{D(u_1,u_2,u_3)}\, du_1\,du_2\,du_3$
Так получается одна из формул Вашего первого сообщения. Но не второго!

То же получается с помощью дифформ:
$dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3=$
$\begin{array}{r}=(\frac{\partial x_1}{\partial u_1}du_1+\frac{\partial x_1}{\partial u_2}du_2+\frac{\partial x_1}{\partial u_3}du_3)\\\wedge(\frac{\partial x_2}{\partial u_1}du_1+\frac{\partial x_2}{\partial u_2}du_2+\frac{\partial x_2}{\partial u_3}du_3)\\\wedge(\frac{\partial x_3}{\partial u_1}du_1+\frac{\partial x_3}{\partial u_2}du_2+\frac{\partial x_3}{\partial u_3}du_3)\end{array}$
$=\frac{D(x_1,x_2,x_3)}{D(u_1,u_2,u_3)}\, du_1\wedge du_2\wedge du_3$

[Slav-27]

Ben в сообщении #1552341 писал(а):

выбрать нужный дифференциал, а произведение Якобиана на два других дифференциала назвать элементом площади"

Если $Jdu_1du_2$ проинтегрировать по кусочку поверхности $u_3=\operatorname{const}$, то, вообще говоря, не получится площадь этого кусочка. Чтобы получалась площадь, достаточно, чтобы касательный вектор $\frac\partial{\partial u_3}$ везде имел длину $1$ и был ортогонален $\frac\partial{\partial u_1}$ и $\frac\partial{\partial u_2}$.

[Ben]

svv в сообщении #1552352 писал(а):

Смешанное произведение трёх векторов равно определителю из их декартовых компонент:
$...=(\sum\limits_{k=1}^3\frac{\partial x_k}{\partial u_1}\vec e_{x_k}, \sum\limits_{k=1}^3\frac{\partial x_k}{\partial u_2}\vec e_{x_k}, \sum\limits_{k=1}^3\frac{\partial x_k}{\partial u_3}\vec e_{x_k})\, du_1\,du_2\,du_3=$
$=\begin{vmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial u_1}&\frac{\partial x_1}{\partial u_2}&\frac{\partial x_1}{\partial u_3}\\\frac{\partial x_2}{\partial u_1}&\frac{\partial x_2}{\partial u_2}&\frac{\partial x_2}{\partial u_3}\\\frac{\partial x_3}{\partial u_1}&\frac{\partial x_3}{\partial u_2}&\frac{\partial x_3}{\partial u_3}\end{vmatrix}\, du_1\,du_2\,du_3=\frac{D(x_1,x_2,x_3)}{D(u_1,u_2,u_3)}\, du_1\,du_2\,du_3$

А как здесь исчезают базисные вектора $\vec e_{x_k}$, они же не единичные?
PS:Что не так с LaTex: $abc$?

[svv]

Ben
А вот они-то уже единичные, это векторы декартова ортонормированного базиса.

-- Пн апр 11, 2022 18:26:37 --

svv в сообщении #1552352 писал(а):

векторы декартова базиса $\vec e_{x_i}$