dS в криволинейных координатах

[Ben]

Чтобы окончательно разобраться, выделил элемент dS для сферической системы координат
$\left| {\begin{matrix} {\frac{{\partial x}}{\partial r}dr}&{\frac{\partial x}{{\partial \theta }}d\theta }&{\frac{\partial x}{{\partial \varphi }}d\varphi }\\ {\frac{{\partial y}}{\partial r}dr}&{\frac{\partial y}{{\partial \theta }}d\theta }&{\frac{\partial y}{{\partial \varphi }}d\varphi }\\ {\frac{{\partial z}}{\partial r}dr}&{\frac{\partial z}{{\partial \theta }}d\theta }&{\frac{\partial z}{{\partial \varphi }}d\varphi } \end{matrix}} \right| = $

$ = \underbrace {\left( {\begin{matrix} {\left( r^2\sin^2\theta \cos \varphi \right)d\theta d\varphi }&{\left( {r\sin \theta \cos\theta \cos\varphi } \right)drd\varphi }&{\left( { - r\sin \varphi } \right)drd\theta } \end{matrix}} \right)}_{dS} \cdot $

$\cdot \left( {\begin{matrix} {\sin \theta \cos \varphi dr}&{r\cos \theta \cos \varphi d\theta }&{ - r\sin \theta \sin \varphi d\varphi } \end{matrix}} \right)=r^2\sin \theta drd\theta d\varphi $

Получается, как и указал Slav-27, произведением Якобиана на пару дифференциалов, в общем случае, элемент площади выделить нельзя.

[svv]

Локальный базис сферической системы координат ортогональный, но не ортонормированный: только $\vec e_r$ единичный. (В физике и приложениях все три вектора нормируют на единицу, но такой базис уже будет неголономным.)
Но раз $|\vec e_r|=1$, то, что останется от элемента объёма после отделения $dr$, действительно будет элементом площади на сфере $r=\operatorname{const}$:
$r^2\sin\theta\,d\theta\, d\varphi=|\vec e_\theta \times \vec e_\varphi|d\theta\, d\varphi$

-- Пн апр 11, 2022 21:53:37 --

Ben в сообщении #1552362 писал(а):

PS:Что не так с LaTex: $abc$?

Поясните, пожалуйста, не понял.

[Ben]

Цитата:

Поясните, пожалуйста, не понял.

Это не Вам, у меня какое-то время LaTex отказывался преобразовывать формулы, я думал, что не дописываю какой-то символ или еще что-то. Написал типа теста "abc".

В целом, спасибо за обсуждение!