Гидродинамика. Уравнение Эйлера для сжим. среды

[sergey zhukov]

Обычно (например, у ЛЛ) уравнение Эйлера для сжимаемой среды (без объемных сил) записывается так:

$$(\frac{\partial}{\partial t}+\bar{v}\nabla)\rho \bar{v}=-\nabla P$$

Проекция на ось $x$ выглядит так:

$$\frac{\partial \rho v_x}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_x\rho}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x\rho}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x\rho}{\partial z}=-\frac{\partial P}{\partial x}$$

Но в одном месте (Чарнцев Д. Компьютерное моделирование процессов физики для школьников: учебное пособие. Стр. 11) мне встретилась эта проекция в таком виде:

$$\frac{\partial \rho v_x}{\partial t}+\frac{\partial v_x v_x\rho}{\partial x}+\frac{\partial v_x v_y\rho}{\partial y}+\frac{\partial v_x v_z\rho}{\partial z}=-\frac{\partial P}{\partial x}$$

Это уравнение переходит в предыдущее, только если $\frac{\partial v_i}{\partial i}=0$. Получается, что последнее уравнение более общее, а предыдущее - это некоторое упрощение?

[Pphantom]

sergey zhukov в сообщении #1551809 писал(а):

Обычно (например, у ЛЛ) уравнение Эйлера для сжимаемой среды (без объемных сил) записывается так:

$$(\frac{\partial}{\partial t}+\bar{v}\nabla)\rho \bar{v}=-\nabla P$$

А можно ссылку - например, на конкретное выражение в ЛЛ в такой форме?

P.S. А вариант из пособия действительно правильный, сходу не заметил.

[DimaM]

Вторая запись точно правильная.
Первая годится для несжимаемой жидкости, а для сжимаемой нет. Для сжимаемой из второй формы с использованием уравнения неразрывности можно получить такое:

$$\rho\left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla\vec{v}\right)=-\nabla P.$$

[sergey zhukov]

Pphantom
Я приврал немного. У ЛЛ для случая сжимаемой жидкости написано

$$\frac{\partial \bar{v}}{\partial t}+(\bar{v} \nabla) \bar{v}=-\frac{1}{\rho}\operatorname{grad} (P)$$

Отсюда я решил, что:

$$(\frac{\partial}{\partial t}+\bar{v}\nabla)\bar{v}\rho=-\nabla P$$

DimaM
Разве так неправильно?:

$$\rho(\frac{\partial \bar{v}}{\partial t}+\bar{v}\nabla \bar{v})=\frac{\partial (\bar{v}\rho)}{\partial t}+\bar{v}\nabla(\bar{v}\rho)$$

[Pphantom]

sergey zhukov в сообщении #1551821 писал(а):

Я приврал немного. У ЛЛ для случая сжимаемой жидкости написано

$$\frac{\partial \bar{v}}{\partial t}+(\bar{v} \nabla) \bar{v}=-\frac{1}{\rho}\operatorname{grad} (P)$$

Отсюда я решил, что:

$$(\frac{\partial}{\partial t}+\bar{v}\nabla)\bar{v}\rho=-\nabla P$$

Ну да. Только это разные выражения, совпадающие только в том случае, если среда несжимаема (т.е. $\rho=\text{const}$).

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1551821 писал(а):

Разве так неправильно?:

$$\rho(\frac{\partial \bar{v}}{\partial t}+\bar{v}\nabla \bar{v})=\frac{\partial (\bar{v}\rho)}{\partial t}+\bar{v}\nabla(\bar{v}\rho)$$

По-моему, нет. Правильно

$$\rho(\frac{\partial \bar{v}}{\partial t}+\bar{v}\nabla \bar{v})=\frac{\partial (\bar{v}\rho)}{\partial t}+\nabla(\bar{v}\bar{v}\rho).$$

-- 05.04.2022, 12:19 --

Pphantom в сообщении #1551822 писал(а):

Только это разные выражения, совпадающие только в том случае, если среда несжимаема (т.е. $\rho=\operatorname{const}$).

Ну, если во втором добавить недостающие скобки, то получится правильное выражение.

[sergey zhukov]

DimaM
Кажется, понял.

У меня получилось, что:

$$\frac{\partial (v_x v_x \rho)}{\partial x}+\frac{\partial (v_x v_y \rho)}{\partial y}+\frac{\partial (v_x v_z \rho)}{\partial z}=v_x(\bar{v}\overrightarrow{\nabla \rho})+\rho(\bar{v}\overrightarrow{\nabla v_x})+\rho v_x(\nabla \bar{v})$$

Для несжимаемой однородной жидкости $\overrightarrow{\nabla \rho}=0$ и $\nabla\bar{v}=0$, поэтому остается только средний член:

$$\rho(v_x\frac{\partial v_x}{dx}+v_y\frac{\partial v_x}{dy}+v_z\frac{\partial v_x}{dz})$$

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1551886 писал(а):

У меня получилось, что

Какой-то ужас у вас написан. Почему вы не пользуетесь общепринятыми обозначениями?

sergey zhukov в сообщении #1551886 писал(а):

Для несжимаемой однородной жидкости $\overrightarrow{\nabla \rho}=0$ и $\nabla\bar{v}=0$, поэтому остается только средний член

В случае сжимаемой жидкости остается то же самое, если вспомнить про уравнение неразрывности

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec{v})=0.$$

[Pphantom]

DimaM в сообщении #1551881 писал(а):

Ну, если во втором добавить недостающие скобки, то получится правильное выражение.

Так тут все очень похоже с точностью до расстановки скобок, которая может полностью поменять смысл.

[sergey zhukov]

DimaM
Действительно:

$$\frac{\partial \rho v_x}{\partial t}+\frac{\partial \rho v_x v_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho v_x v_y}{\partial y}+\frac{\partial \rho v_x v_z}{\partial z} = \rho \frac{\partial v_x}{\partial t} + v_x\left (\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot (\rho\bar{v})\right ) +\rho(\bar{v}\cdot\nabla v_x)=$$ $$\rho(\frac{\partial v_x}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z})$$

Средний член во втором выражении как раз равен нулю по уравнению неразрывности. Т.е. формула из пособия написана в самом общем виде без учета уравнения неразрывности. Но с учетом уравнения неразрывности ее можно записать проще.

А что не так с обозначениями? Выражение типа $\nabla v_x$, т.е. "градиент компоненты вектора" кривое? Или $\overrightarrow{\nabla \rho}$, где стрелка над всем выражением показывает, что градиент плотности - это вектор?

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1551901 писал(а):

Выражение типа $\nabla v_x$, т.е. "градиент компоненты вектора" кривое?

Кривое.

sergey zhukov в сообщении #1551901 писал(а):

Или $\overrightarrow{\nabla \rho}$, где стрелка над всем выражением показывает, что градиент плотности - это вектор?

Всем и так известно, что градиент скалярной величины - это вектор. А вот градиент вектора, который у вас в последнем слагаемом болтается - неведома зверушка.
Главное ведь, можете же нормально (еще внешние скобки через \left и \right записать, и вообще красота будет).

[sergey zhukov]

Я не знаю, как записать короче это выражение:

$$v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}$$

Вроде бы "градиент компоненты вектора" - это подозрительно. Компонента вектора - это не скаляр, конечно. Хотя смысл записи по моему ясен.

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1551907 писал(а):

Я не знаю, как записать короче это выражение

Ну вот в предыдущем сообщении нормально же все записали. Так и продолжайте!

[sergey zhukov]

Вот еще так можно покороче (в тензорных обозначениях):

$$v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}=v_k\frac{\partial v_x}{\partial x_k}$$

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1551930 писал(а):

Вот еще так можно покороче (в тензорных обозначениях)

Опять гибрид ужа и чижа (векторных и тензорных обозначений). Если уж писать в тензорных, то полностью:

$$\frac{\partial v_i}{\partial t}+v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}=-\frac{\partial P}{\partial x_i}.$$