Мальчик на льду

[profilescit]

Мальчик периодически бегает вокруг равнобедренного треугольного с длиной стороны $a$ на ледяном поле. Какова минимальная продолжительность одного круга вокруг дома при оптимальной траектории? Ускорение свободного падения $g$, коэффициент трения $\mu$

[lel0lel]

profilescit в сообщении #1551620 писал(а):

равнобедренного

равностороннего?

-- Пт апр 01, 2022 22:14:01 --

Интуиция подсказывает, что траектория представляет собой треугольник со сглаженными вершинами. То есть три прямолинейных участка разгон-торможение и три дуги окружности минимального радиуса, центры которых на биссектрисах, и проходят через вершины. Дальше школьная геометрия, но начать нужно с минимально возможного радиуса кривизны. А вот как доказать оптимальность, это хороший вопрос.

[slavav]

Ошибочное ответ, как я потом понял:

(Оффтоп)

$T = 3\sqrt{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{a}{g\mu}}$

[lel0lel]

slavav
Удивительно быстро и без числа пи. Что за траектория если не секрет. У меня время получилось раза в полтора больше.

[zykov]

slavav в сообщении #1551628 писал(а):

$\sqrt{\sqrt{3}}$

$\sqrt[4] 3$

\sqrt[4] 3

[lel0lel]

Рассмотрим случай когда мальчик бегает по периметру, останавливаясь в вершинах, меняя направление движения. На каждой стороне происходит разгон с ускорением $\mu g$ и торможение с таким же ускорением. Средняя скорость на стороне равна $\sqrt{a\mu g}/2$. Период равен $6\times\sqrt{\frac{a}{\mu g}}$. Если рассматривать сглаженные углы, то время не будет меньше, но физически при некоторых $a$ гладкая (с точностью до первой производной) траектория может быть выгоднее, так как при угловатой нужно учитывать время на развороты в точках остановки. Вообще, эта задача не такая уж простая.

[Sender]

lel0lel в сообщении #1551621 писал(а):

три дуги окружности минимального радиуса

Мне кажется, радиус не обязан быть минимальным, с его увеличением мы можем быстрее двигаться вдоль сторон.

[lel0lel]

Sender да, я не совсем верно выразился. Пусть $v$ скорость на окружностях, по ней будем минимизировать. Радиус: $R=\frac{v^2}{\mu g}$. Время на дуге равной трети окружности $\frac{2\pi v}{3\mu g}$. Длина
прямолинейного участка $a-2R\cos 30=a-\frac{v^2\sqrt{3}}{\mu g}$. Средняя скорость на прямолинейных участках $\Big(v+\sqrt{a\mu g+(1-\sqrt{3})v^2}\Big)/2$. Тогда

$$T(v)=6\frac{a\mu g-\sqrt{3}v^2}{\mu g(v+\sqrt{a\mu g+(1-\sqrt{3})v^2}}+\frac{2\pi v}{\mu g}$$

Тогда минимальное время при условии, что длина прямолинейного участка неотрицательная: $T=\frac{2\pi}{3^{1/4}}\sqrt{\frac{a}{\mu g}}$, что соответствует описанной окружности. Но возможно это неоптимальное время.

[artur_k]

А не по описанной ли окружности будет быстрее всего?

$$T=\sqrt{\frac{a}{\sqrt{3}\mu g}}$$

[lel0lel]

artur_k
Для описанной окружности получается как раз

lel0lel в сообщении #1551648 писал(а):

Тогда $T=\frac{2\pi}{3^{1/4}}\sqrt{\frac{a}{\mu g}}.$

-- Сб апр 02, 2022 11:39:21 --

lel0lel в сообщении #1551644 писал(а):

Если рассматривать сглаженные углы, то время не будет меньше

Это я неправильно написал, сначала допустил ошибку при нахождении минимума. Конечно, сглаживание ускоряет процесс. И пока вроде получили результат (приведён выше), что минимальное время при беге по описанной окружности (совсем без прямолинейных участков и торможения). Можно было бы рассмотреть эллипсы, но в силу симметрии, смысла в этом особого нет.

[waxtep]

Возможно, форма оптимальной траектории другая: по сторонам треугольника, а из вершины (в нее же) по "петельке", не являющейся окружностью

[profilescit]

Правильного ответа здесь все еще нет. Время выражается полностью аналитически, напишу пока численно что $T \approx 4.753 \sqrt{\frac{a}{\mu g}}$

[Sender]

lel0lel в сообщении #1551639 писал(а):

Удивительно быстро и без числа пи.

У меня получилось похожее выражение, если рассмотреть траекторию из трёх кусков парабол, гладко сопрягающихся в вершинах. Но там вроде получается $3\sqrt{2\sqrt{3}}$, на рекорд не тянет.

[lel0lel]

Есть мысль плавно соеденить дугу окружности (проходящую через вершину или все три вершины) и гиперболу или параболу, но пока это просто мысль. То есть речь о дуге описанной окружности градусной мерой 240° и соприкасающейся с ней в двух вершинах гиперболе.

[waxtep]

Какая-то гипотрохоида может быть? Она может быть похожей и на треугольник со скругленными углами, например

$$\begin{cases} x=2\cos\vartheta+\frac12\cos2\vartheta\\ y=2\sin\vartheta-\frac12\sin2\vartheta\end{cases}$$

$0\leqslant\vartheta<6\pi$