функция с параметром

[kkapitonets]

Подскажите, пожалуйста, правильно ли я рассуждаю по поводу следующего утверждения?

Конкретно интересует следствие из предела

$\lim_{a \rightarrow b} |\alpha_k-\alpha_{k+1}|=|\beta_k-\beta_{k+1}|$

что
$|\alpha_k-\alpha_{k+1}|\ne 0$ даже если $|\beta_k-\beta_{k+1}|=0$

Если $|\beta_k-\beta_{k+1}|\ne 0$ сомнения почти нет, а если какое-то $|\beta_k-\beta_{k+1}|=0$?
Верно ли что последовательность которая стремится к нулю самого нуля не содержит?

Утверждение

Рассмотрим функцию действительного переменного с параметром, которая имеет бесконечное количество нулей
$ \{f(a,x)\}$ (1)
если существует предел
$ \lim_{a \rightarrow b} f(a,x)=f(b,x) $ (2)
то при $ a\ne b $ все нули действительные.

Доказательство

Пусть $ \alpha_k$ нули функции $f(a,x)$ при $ a\ne b $ (3)
а $\beta_k$ нули функции $ f(b,x)$ (4)
тогда очевидно из предела (2) следует два других предела
$ \lim_{a \rightarrow b} \alpha_k=\beta_k $ (5)
$ \lim_{a \rightarrow b} |\alpha_k-\alpha_{k+1}|=|\beta_k-\beta_{k+1}|$ (6)
из последнего предела очевидно, что
$|\alpha_k-\alpha_{k+1}|\ne 0$ (7)
где $\alpha_k$ и $\alpha_{k+1}$ два любых соседних нуля функции $f(a,x)$ при $a\ne b$

Это верно? или (7) не следует из (6), то почему?

[Null]

kkapitonets в сообщении #1549513 писал(а):

тогда очевидно из предела (2) следует два других предела
$ \lim_{a \rightarrow b} \alpha_k=\beta_k $ (5)

Не очевидно и, скорее всего, неправда. Докажите.

[kkapitonets]

Возможно, я неудачно сформулировал условие утверждения.

Я хотел указать на то, что в принципе существует некоторое значение $b$, при котором, наверное, математическое ожидание отклонения нулей от нулей некоторой функции имеет предел, но подумал, что указанного предела (2) достаточно.

Теперь я понимаю, что дело именно в этом математическом ожидании и по-другому сформулировать условие не получится, т.к. оно не будет отражать сути этой функции.

Другими словами, не любая функция с параметром, а функция, обладающая определенными свойствами, которые, как я теперь понимаю не раскрываются указанным пределом.

Попробую сформулировать, что я хотел сказать пределом (2).

Пусть существует некоторая функция $h(a,x)\cos(g(x)) $, (8)

где $h(a,x)$, функция, которая не имеет нулей (т.е. она только определяет амплитуду) (9)

такая что $ \lim_{a \rightarrow -\infty} h(a,x)=\infty $ (10)

и $ \lim_{a \rightarrow \infty} h(a,x)=1 $ (11)

а $g(x)$ медленно возрастающая функция (т.е. нули медленно сгущаются), (12)

и $\delta_k$ нули этой функции

тогда свойства функции с параметром (1) можно переписать следующим образом
через математическое ожидание отклонения нулей функции (1) от нулей функции (8)

$E\Delta$, где $\Delta_k=|\beta_k-\delta_k|$

$ \lim_{a \rightarrow -\infty } E\Delta = 0 $ (13)

$ \lim_{a \rightarrow \infty } E\Delta = 0 $ (14)

$ \lim_{a \rightarrow b } E\Delta = B $ (15)

Другими словами, пределом (2) я хотел сказать, что при $a=b$ у функции (1) есть некоторая особенность, к которой стремится функция, а получилась ерунда.

Теперь не понятно по дороге от $ -\infty $ к $ b $ и от $ \infty $ к $ b $ получается про предел (5) ничего определенного сказать невозможно даже в такой постановке?

[Null]

kkapitonets в сообщении #1549539 писал(а):

Возможно, я неудачно сформулировал условие утверждения.

Да. Вообще не понятно что вы делаете.

kkapitonets в сообщении #1549539 писал(а):

$g(x)$ медленно возрастающая функция

Что такое медленно возрастающая функция?

kkapitonets в сообщении #1549539 писал(а):

т.е. нули медленно сгущаются

Тоже нужно определение.

kkapitonets в сообщении #1549539 писал(а):

и $\delta_k$ нули этой функции

Нули $\cos(g(x))$?

kkapitonets в сообщении #1549539 писал(а):

тогда свойства функции с параметром (1) можно переписать следующим образом

Функции $h,g$ и $f$ как то связанны?

kkapitonets в сообщении #1549539 писал(а):

через математическое ожидание отклонения нулей функции (1) от нулей функции (8)

Нужно ввести вероятностное пространство и случайные величины на нем.

[kkapitonets]

Я хочу выразить свою мысль правильным математическим языком.

$ \{f(a,x)\}$ это расширенная функция Харди

$ \{f(a,x)\}=u(a,x)e^{ig(b,x)}$

Собственно, при $ b=1/2 $ получаем функцию Харди

$ f(b,x)=u(b,x)e^{ig(b,x)}$

И наконец

$ \zeta(a,x)=u(a,x)+ iv(a,x)$ Дзета функция Римана

Т.е. $u(a,x)e^{ig(b,x)}$ проекция $ \zeta(a,x)$ на направление $e^{ig(b,x)}$

Соответственно $iv(a,x)e^{ig(b,x)$ проекция $ \zeta(a,x)$ на направление $ie^{ig(b,x)}$

Я предполагаю, что нули $\alpha_k$, $\beta_k$ и $\delta_k$ имеют однозначное соответствие, поэтому у расширенной функции Харди не может быть даже кратных корней, т.е. $|\alpha_k-\alpha_{k+1}|\ne 0$

И в конце концов я хочу выразить свою мысль и избавиться от навязчивой идеи.

[kkapitonets]

Вероятностное пространство получается надо определять методами математической статистики, т.к. мы изначально не знаем закона распределения случайной величины отклонения нулей расширенной функции Харди от нулей функции $\cos(g(b,x)) $

[kkapitonets]

Все разобрался, дело в другом пределе.

Оказалось, достаточно чтобы из всех значений параметра можно было выбрать такое счетное количество значений,
чтобы разные функции с этими значениями параметра составляли базис гильбертова пространства,
т.е. были линейно независимыми.

Есть другие детали, но это свойство самое главное.

Подробности, как размещу статью на arxiv.