Помогите разобраться с решением у Ширяева. Там такое решение задачи I.1.6(а) на стр. 11 в "Вероятность в теоремах и задачах", 2014, МЦНМО.
Цитата:
6. (Разные интерпретации биномиальных коэффициентов
![$C^n_{N +n-1}$ $C^n_{N +n-1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/a/acaced53bdd8bcad7a2a19a2c279386182.png)
.) Показать, что число неупорядоченных выборок
![$[. . .]$ $[. . .]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/6/c9664f38bad9164dc311ce0b47bdb71e82.png)
размера n при «выборе с возвращением», составленных из элементов множества
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
с
![$|A| = N$ $|A| = N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/7/637c531b542c606a7b954309d029c4d882.png)
, равно
![$C^n_{N +n-1}$ $C^n_{N +n-1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/a/acaced53bdd8bcad7a2a19a2c279386182.png)
.
Решение. (a) Построим взаимно однозначное соответствие между интересующими нас выборками и упорядоченными последовательностями из n единиц и
![$N - 1$ $N - 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/6/2165d5f835a1cb2082f2a3aa8228a03282.png)
нулей, которых в силу задачи I.1.3(b) ровно
![$C^n_{N +n-1}$ $C^n_{N +n-1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/a/acaced53bdd8bcad7a2a19a2c279386182.png)
. Для этого занумеруем элементы множества A числами от 1 до N и припишем к каждой последовательности перед первым элементом и после последнего элемента по нулю. Тогда выборке, в которой i-й элемент A встречается
![$a_i$ $a_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/e/65ed4b231dcf18a70bae40e50d48c9c082.png)
раз,
![$i = 1, \dots , N$ $i = 1, \dots , N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/4/b24034abd9f84a8a449ae303985da6d582.png)
, ставится в соответствиепоследовательность, в которой между i-м и (i + 1)-м нулем стоит
![$a_i$ $a_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/e/65ed4b231dcf18a70bae40e50d48c9c082.png)
единиц. Обратное отображение аналогично.
Приведите пожалуйста пример такого отображения, как выше в решении. Я не понимаю в каких последовательностях приписываются по нулю перед первым и после последнего элемета.
Сам я так решаю эту задачу. Возьмем выборку неупорядоченную, упорядочим ее элементы по неубыванию:
![$a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$ $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/7/d1792d38fea900df93276af1d664b73a82.png)
. Прибавим кажому элементу по единице. Тогда максимальный элемент будет равен
![$N+n-1$ $N+n-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/c/66c10d3b997463dfb56f2fdc6232814982.png)
и число таких выборок будет
![$C^n_{N+n-1}$ $C^n_{N+n-1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/a/a6a9c6127418dc36219f676b1cf16dbb82.png)
, т.е. будет равно числу сочетаний из
![$N+n-1$ $N+n-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/c/66c10d3b997463dfb56f2fdc6232814982.png)
по
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
без повторов.
Но как у Ширяева доказано, я не понимаю. Берем множество A например 1 2 3 4. И как приписывать по нулю в каждой последовательности? 0 1 0, 0 1 2 0, 0 1 2 3 0, .. ?