Функции мод собственных поперечных колебаний стержня

[Red_Herring]

Pumpov в сообщении #1507911 писал(а):

частотное уравнение $\ch(k_m)\cos(k_m) = 1$

С точки зрения численных методов это плохое уравнение. Хорошее: $\cos(k_m) =\dfrac{1}{\cosh(k_m)}$ и из него легко получить оценку разницы между $k_m$ и ближайшим полуцелым кратным $\pi$ при даже небольших $m$.

[Pumpov]

Red_Herring в сообщении #1507927 писал(а):

Pumpov в сообщении #1507911 писал(а):

частотное уравнение $\ch(k_m)\cos(k_m) = 1$

С точки зрения численных методов это плохое уравнение. Хорошее: $\cos(k_m) =\dfrac{1}{\cosh(k_m)}$ и из него легко получить оценку разницы между $k_m$ и ближайшим полуцелым кратным $\pi$ при даже небольших $m$.

Да, спасибо. А ещё количество знаков после запятой для больших корней, чтобы с нормальной точностью выполнялось уравнение, пропорционально логарифму от величины корня, ведь гиперболический косинус - это экспонента, практически?

svv в сообщении #1507913 писал(а):

О, Боже мой, пока писал ответ уже появилось Ваше разоблачение мафии, браузер с опозданием обновил тему ; ) На двое суток задержал браузер обновление, будь он неладен!

Разоблачение магии конечно же, а не мафии.

[Pumpov]

Хочу реанимировать тему.

svv в сообщении #1506517 писал(а):

Pumpov
Формулы можно значительно упростить, если использовать на стержне координату $t=2x-1$, которая на его концах принимает значения $\pm 1$. При этом вместо $k_m$ удобнее использовать $\varkappa_m=k_m/2$.

Теперь моды очевидно делятся на чётные и нечётные.
Чётные имеют вид:
$y_m=\ch (\varkappa_m) \cos (\varkappa_m t) +\cos (\varkappa_m) \ch (\varkappa_m t)$
Нечётные имеют вид:
$y_m=\sh (\varkappa_m) \sin (\varkappa_m t) + \sin (\varkappa_m) \sh (\varkappa_m t)$

Частоты $\varkappa_m$ можно найти через известные $k_m$, либо использовать уравнение
$\th\varkappa_m\pm \tg\varkappa_m=0$,
где знак $+$ берется для чётных мод, а знак $-$ для нечётных.

А Вы можете, пожалуйста, привести ссылку на литературу, где эта процедура подробно описана? А то у меня, в частности, получился пока другой результат.
Симметричные моды:
$y^{s}_m = -\frac{\ch\varkappa_m t}{\sh\varkappa_m} + \frac{\cos\varkappa_m t}{\sin\varkappa_m}$.
Антисимметричные моды:
$y^{a}_m = \frac{\sh\varkappa_m t}{\ch\varkappa_m} + \frac{\sin\varkappa_m t}{\cos\varkappa_m}$.
При выводе использовал то же частотное уравнение, что у Вас, плюс получающееся соотношение $\th^{2}k_m = \sin^{2}k_m$, а также, что для симметричных мод $C^{s}_m = -\cth\varkappa_m = \ctg$\varkappa_m, а для антисимметричных мод $C^{a}_m = -\th\varkappa_m = - \tg$\varkappa_m.
Я проверил все выражения в Маткаде.

[svv]

Вашу симметричную моду умножим на константу $\sh\varkappa_m \ch\varkappa_m \sin\varkappa_m$:
$\sh\varkappa_m \ch\varkappa_m \cos\varkappa_m t-\sin\varkappa_m \ch\varkappa_m \ch\varkappa_m t$

Мою симметричную моду умножим на константу $\sh\varkappa_m$:
$\sh\varkappa_m\ch \varkappa_m \cos\varkappa_m t+\sh\varkappa_m\cos\varkappa_m\ch\varkappa_m t$

Первые слагаемые теперь совпадают. И вторые тоже, в силу
$\th\varkappa_m+\tg\varkappa_m=0\quad\Rightarrow\quad \sh\varkappa_m\cos\varkappa_m+\sin\varkappa_m\ch\varkappa_m=0$

Pumpov в сообщении #1548840 писал(а):

А Вы можете, пожалуйста, привести ссылку на литературу, где эта процедура подробно описана?

Нет, я сам решал, но, надеюсь, теперь вопрос не так актуален.

[Pumpov]

svv в сообщении #1548926 писал(а):

Вашу симметричную моду умножим на константу $\sh\varkappa_m \ch\varkappa_m \sin\varkappa_m$:
$\sh\varkappa_m \ch\varkappa_m \cos\varkappa_m t-\sin\varkappa_m \ch\varkappa_m \ch\varkappa_m t$

Мою симметричную моду умножим на константу $\sh\varkappa_m$:
$\sh\varkappa_m\ch \varkappa_m \cos\varkappa_m t+\sh\varkappa_m\cos\varkappa_m\ch\varkappa_m t$

Первые слагаемые теперь совпадают. И вторые тоже, в силу
$\th\varkappa_m+\tg\varkappa_m=0\quad\Rightarrow\quad \sh\varkappa_m\cos\varkappa_m+\sin\varkappa_m\ch\varkappa_m=0$

Pumpov в сообщении #1548840 писал(а):

А Вы можете, пожалуйста, привести ссылку на литературу, где эта процедура подробно описана?

Нет, я сам решал, но, надеюсь, теперь вопрос не так актуален.

Да, спасибо, меня на это не хватило немного .

svv в сообщении #1548926 писал(а):

Нет, я сам решал, но, надеюсь, теперь вопрос не так актуален.

Ну в прицпипе теперь ясно. Хотя для ссылки, если кто-то сможет найти, где это описано - буду признателен.

svv
Я нашёл статьи, где моды собственных колебаний записаны как раз в том виде, как Вы вывели сами.
Вот они:
DOI: 10.21278/TOF.40301
http://dx.doi.org/10.1016/j.tws.2015.06.015

Только авторы не ссылаются, откуда в таком виде взяли формулы. В книге Тимошенко С.П. "Колебания в инженерном деле" даже 1985-го года функции записаны всё ещё по единой формуле, без разделения на симметричные и антисимметричные моды (и частотное уравнение там, соответственно, с косинусами).