2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Equation 1
Сообщение19.11.2020, 09:56 


01/08/19
95
Solve the equation: $\log_{a} x=\frac{x}{a}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Equation 1
Сообщение19.11.2020, 10:32 


30/01/18
577
$x=a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Equation 1
Сообщение19.11.2020, 11:32 


05/09/16
11469
rascas в сообщении #1493206 писал(а):
$x=a$

Not the only :)
But other solution is not elementary :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Equation 1
Сообщение19.11.2020, 12:01 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
If $a=e$ or $a<1$, it's the only solution
see the graph $\frac{\ln x}x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Equation 1
Сообщение19.11.2020, 12:08 


05/09/16
11469
iancaple в сообщении #1493232 писал(а):
If $a=e$ or $a<1$, it's the only solution

Right, because other solution exist for $a>1$ and crosses trivial solution $x=a$ in $a=e$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Equation 1
Сообщение19.11.2020, 12:24 
Заблокирован


16/04/18

1129
Через функцию Ламберта наверное выражается решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Equation 1
Сообщение20.11.2020, 08:10 
Заблокирован


16/04/18

1129
У меня так получилось через функцию Ламберта для всех значений параметра $a$:
$$
x=-\frac{a}{\ln a}W\left(-\frac{\ln a}{a}\right).
$$
Правильно?
На интервале $1/e \leq a \leq e$ справедлива формула (Вики) $W\left(-\frac{\ln a}{a}\right)= - \ln a$, поэтому на указанном интервале значений параметра
$$
x=-\frac{a}{\ln a}(-\ln a)=a.
$$
На этом интервале только тривиальное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Equation 1
Сообщение20.11.2020, 11:59 
Заблокирован


16/04/18

1129
Вроде это полное решение поставленной задачи для всех трёх интервалов параметра $a$, $(0,1/e), [1/e,e], (e,\infty)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Equation 1
Сообщение20.11.2020, 12:01 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
novichok2018 в сообщении #1493364 писал(а):
На интервале $1/e \leq a \leq e$ справедлива формула (Вики) $W\left(-\frac{\ln a}{a}\right)= - \ln a$, поэтому на указанном интервале значений параметра
$$
x=-\frac{a}{\ln a}(-\ln a)=a.
$$
На этом интервале только тривиальное решение.
Нет, не только тривиальное решение (при $a=2$, например). Правильный совет был дан выше --- просто посмотреть на графики при разных $a$. И довольно быстро картина (сколько решений может быть) станет ясной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Equation 1
Сообщение20.11.2020, 21:38 
Заблокирован


16/04/18

1129
Тогда теория функций Ламберта неверна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Equation 1
Сообщение21.11.2020, 12:24 
Заблокирован


16/04/18

1129
nnosipov - да, Вы правы. В формуле в вике неточность, она верна, но для главной ветви.
Но когда аргумент функции Ламберта $W(x)$ попадает в интервал $- 1\e \leq x <0$, попадаем на двузначность. Случай
$a=2$ именно такой. Два решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Equation 1
Сообщение21.11.2020, 15:33 


05/09/16
11469
Встречается так же в виде $x^a=a^x$ (что красивее выглядит, на мой взгляд)

 Профиль  
                  
 
 Re: Equation 1
Сообщение15.02.2022, 14:54 


01/08/19
95
Find the number of solution of the equation ( depending n the parameter $a$ ):
$$\log_{a}x=\frac{x}{a}$$


P.S. I think we have the mistake in the book in which I found this Problem, and the text should be as above.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group