Equation 1

[rsoldo]

Solve the equation: $\log_{a} x=\frac{x}{a}$.

[rascas]

$x=a$

[wrest]

rascas в сообщении #1493206 писал(а):

$x=a$

Not the only :)
But other solution is not elementary :(

[iancaple]

If $a=e$ or $a<1$, it's the only solution
see the graph $\frac{\ln x}x$

[wrest]

iancaple в сообщении #1493232 писал(а):

If $a=e$ or $a<1$, it's the only solution

Right, because other solution exist for $a>1$ and crosses trivial solution $x=a$ in $a=e$.

[novichok2018]

Через функцию Ламберта наверное выражается решение.

[novichok2018]

У меня так получилось через функцию Ламберта для всех значений параметра $a$:

$$ x=-\frac{a}{\ln a}W\left(-\frac{\ln a}{a}\right). $$

Правильно?
На интервале $1/e \leq a \leq e$ справедлива формула (Вики) $W\left(-\frac{\ln a}{a}\right)= - \ln a$, поэтому на указанном интервале значений параметра

$$ x=-\frac{a}{\ln a}(-\ln a)=a. $$

На этом интервале только тривиальное решение.

[novichok2018]

Вроде это полное решение поставленной задачи для всех трёх интервалов параметра $a$, $(0,1/e), [1/e,e], (e,\infty)$.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1493364 писал(а):

На интервале $1/e \leq a \leq e$ справедлива формула (Вики) $W\left(-\frac{\ln a}{a}\right)= - \ln a$, поэтому на указанном интервале значений параметра

$$ x=-\frac{a}{\ln a}(-\ln a)=a. $$

На этом интервале только тривиальное решение.

Нет, не только тривиальное решение (при $a=2$, например). Правильный совет был дан выше --- просто посмотреть на графики при разных $a$. И довольно быстро картина (сколько решений может быть) станет ясной.

[novichok2018]

Тогда теория функций Ламберта неверна.

[novichok2018]

nnosipov - да, Вы правы. В формуле в вике неточность, она верна, но для главной ветви.
Но когда аргумент функции Ламберта $W(x)$ попадает в интервал $- 1\e \leq x <0$, попадаем на двузначность. Случай
$a=2$ именно такой. Два решения.

[wrest]

Встречается так же в виде $x^a=a^x$ (что красивее выглядит, на мой взгляд)

[rsoldo]

Find the number of solution of the equation ( depending n the parameter $a$ ):

$$\log_{a}x=\frac{x}{a}$$

P.S. I think we have the mistake in the book in which I found this Problem, and the text should be as above.