Аксиомы порядка

[Middle]

Между элементами $\mathbb{R}$ имеется отношение $\leqslant$ , т.е. для элементов $x,y \in \mathbb{R}$ установлено выполняется ли $ x\leqslant y$ или нет. При этом должны удовлетворяться следующие условия:
0. $\forall x \in \mathbb{R}: x \leqslant x $
1. $ x \leqslant y \wedge y \leqslant x \Rightarrow x=y$
2. $ x \leqslant y \wedge y \leqslant z \Rightarrow x \leqslant z $
3. $\forall x\in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x \leqslant y \vee y \leqslant x$

Допустим, что для элементов $x,y \in \mathbb{R}$ выполняется 1 аксиома, т.е. x=y. Тогда что будет, если для этих элементов применить 3 аксиому? Всегда будет $x \leqslant y$ или $y \leqslant x$? И если всегда $ x \leqslant y$, тогда в силу чего, мы не можем сказать, что $y \leqslant x $?Или если при использовании 3-й аксиомы можно одновременно получить,что и $ x \leqslant y$ и $ x \leqslant y$, тогда почему она не перезапишется в виде:
3. $\forall x\in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: ( x \leqslant y \vee y \leqslant x) \vee (x \leqslant y \wedge y \leqslant x) $
А первая аксиома, в этом случае, показывает, что считать равенством элементов.

[Mikhail_K]

Middle
"ИЛИ" здесь (и везде в математике) неисключающее.
То есть, утверждение $A\vee B$ верно в том числе и тогда, когда верны оба утверждения $A$ и $B$.

[mihaild]

Если $x = y$ то конечно в силу рефлексивности (нулевая аксиома) будет и $x \leqslant y$ и $y \leqslant x$.

Middle в сообщении #1548785 писал(а):

Всегда будет $x \leqslant y$ или $y \leqslant x$?

И то и другое.

Middle в сообщении #1548785 писал(а):

И если всегда $ x \leqslant y$, тогда в силу чего, мы не можем сказать, что $y \leqslant x $?

Если $x = y$ то мы конечно можем сказать $y \leqslant x$, почему вы думаете, что не можем?

Middle в сообщении #1548785 писал(а):

тогда почему она не перезапишется в виде

А зачем? Утверждения $A \vee B$ и $(A \vee B) \vee (A \wedge B)$ эквивалентны. $\vee$ - неисключающее или, оно истинно если истинны оба операнда.

Middle в сообщении #1548785 писал(а):

А первая аксиома, в этом случае, показывает, что считать равенством элементов

Равенствно в таких рассуждениях считается уже заданным, причем стандартным образом: числа равны если это один и тот же элемент $\mathbb R$ (как множества). Первая аксиома говорит, что если из двух элементов каждый не больше другого, то элементы равны (это свойство называется антисимметричность).

[Middle]

mihaild в сообщении #1548787 писал(а):

Если $x = y$ то конечно в силу рефлексивности (нулевая аксиома) будет и $x \leqslant y$ и $y \leqslant x$.

Middle в сообщении #1548785 писал(а):

Всегда будет $x \leqslant y$ или $y \leqslant x$?

И то и другое.

Middle в сообщении #1548785 писал(а):

И если всегда $ x \leqslant y$, тогда в силу чего, мы не можем сказать, что $y \leqslant x $?

Если $x = y$ то мы конечно можем сказать $y \leqslant x$, почему вы думаете, что не можем?

Middle в сообщении #1548785 писал(а):

тогда почему она не перезапишется в виде

А зачем? Утверждения $A \vee B$ и $(A \vee B) \vee (A \wedge B)$ эквивалентны. $\vee$ - неисключающее или, оно истинно если истинны оба операнда.

Middle в сообщении #1548785 писал(а):

А первая аксиома, в этом случае, показывает, что считать равенством элементов

Равенствно в таких рассуждениях считается уже заданным, причем стандартным образом: числа равны если это один и тот же элемент $\mathbb R$ (как множества). Первая аксиома говорит, что если из двух элементов каждый не больше другого, то элементы равны (это свойство называется антисимметричность).

Благодарю за ответ