2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13  След.
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение01.01.2022, 01:57 
Аватара пользователя


22/11/13
496
Нега-счастливые числа Эйлера:

$$7, 3, -3, -11$$$$23, 19, 13, 5, -5, -17, -31, -47$$$$47, 43, 37, 29, 19, 7, -7, -23, -41, -61, -83, -107$$$$167, 163, 157, 149, 139, 127, 113, 97, 79, 59, 37, 13$$$$ -13, -41, -71, -103, -137, -173, -211, -251, -293, -337, -383, -431$$
Последние не помещались, поэтому разбил на 2 строки.

Что примечательно, все квадраты ($3^2, 5^2, 7^2, 13^2$). Ну и еще один интересный пример ($27^2$):

$$727, 709, 673, 619, 547, 457, 349, 223, 79$$$$-83, -263, -461, -677, -911, -1163, -1433, -1721, -2027, -2351, -2693$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение12.01.2022, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Нега-счастливые числа Эйлера - что это?

Дайте, пожалуйста, определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение10.02.2022, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
$$\sum_{k=1}^{n-1}F_{3k}^2=\frac{(-1)^n}{5}+\frac{(4+\sqrt{20})^{2n-1}+(4-\sqrt{20})^{2n-1}}{4^n\cdot 10}$$
где $F_n$ - $n$-е число Фибоначчи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение10.02.2022, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
juna в сообщении #1548456 писал(а):
$$\ldots+(-1)^{2n}\ldots$$
Там точно $(-1)^{2n}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение10.02.2022, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Someone в сообщении #1548457 писал(а):
juna в сообщении #1548456 писал(а):
$$\ldots+(-1)^{2n}\ldots$$
Там точно $(-1)^{2n}$?


Исправил, конечно )

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение10.02.2022, 05:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
$$\sqrt{5}-2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sum_{k=1}^{n}F_{3k}^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение10.02.2022, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
juna в сообщении #1548456 писал(а):
$$\sum_{k=1}^{n-1}F_{3k}^2=\frac{(-1)^n}{5}+\frac{(4+\sqrt{20})^{2n-1}+(4-\sqrt{20})^{2n-1}}{4^n\cdot 10}$$
где $F_n$ - $n$-е число Фибоначчи.
А в чём мистика-то? Просто сумма геометрических прогрессий. И последнюю дробь можно на $2^{2n-1}$ сократить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение10.02.2022, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
RIP в сообщении #1548531 писал(а):
А в чём мистика-то? Просто сумма геометрических прогрессий. И последнюю дробь можно на $2^{2n-1}$ сократить.


Если подставлять замкнутые формулы для чисел Фибоначчи в левую часть, то наверное это скучное упражнение. Не знаю, не пробовал.
Я получил данную формулу из соотношения, которое написано вторым. Потом стало интересно, известна ли она, и оказалось, что да https://oeis.org/A156084. Но там выражают через числа Люка, скорее всего это одно и тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение11.02.2022, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Оказывается и серебряное сечение выражается подобным образом:

$$\sqrt{2}+1=2+\frac{1}{2}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sum_{k=1}^{n} P_k^2}$$

где $P_n$ - $n$число Пелля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение23.03.2022, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Еще ряд интересных фактов:

$$\frac{\sqrt{21}}{2}=\frac{5}{2}-\frac{1}{5}-\frac{1}{120}-\frac{1}{2760}-\frac{1}{63365}-\ldots,$$
где знаменатели отрицательных дробей ряда есть целые числа m такие, что $3m+1$ и $7m+1$ являются полными квадратами (https://oeis.org/A160695).

$$\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{7}{2}-\frac{1}{7}-\frac{1}{336}-\frac{1}{15792}-\ldots,$$
где знаменатели отрицательных дробей ряда есть целые числа m такие, что $5m+1$ и $9m+1$ являются полными квадратами (https://oeis.org/A161582).

$$\frac{\sqrt{77}}{2}=\frac{9}{2}-\frac{1}{9}-\frac{1}{720}-\frac{1}{56880}-\ldots,$$
где знаменатели отрицательных дробей ряда есть целые числа m такие, что $7m+1$ и $11m+1$ являются полными квадратами (https://oeis.org/A161585)

$$\frac{3\sqrt{13}}{2}=\frac{11}{2}-\frac{1}{11}-\frac{1}{1320}-\frac{1}{157080}-\frac{1}{18691211}-\frac{1}{2224097040}-\frac{1}{264648856560}-\frac{1}{31490989833611}-\ldots,$$
где знаменатели отрицательных дробей ряда есть целые числа m такие, что $9m+1$ и $13m+1$ являются полными квадратами .

$$\frac{\sqrt{165}}{2}=\frac{13}{2}-\frac{1}{13}-\frac{1}{2184}-\frac{1}{364728}-\frac{1}{60907405}-\frac{1}{10171171920}-\frac{1}{1698524803248}-\frac{1}{283643470970509}-\ldots,$$
где знаменатели отрицательных дробей ряда есть целые числа m такие, что $11m+1$ и $15m+1$ являются полными квадратами.

Последние две последовательности отсутствуют в https://oeis.org, поэтому выписал подробнее. Вообще можно продолжать и т.д. для любых пар: $$(2n+1)m+1;(2n+5)m+1.$$
Кроме того, должны получаться наилучшие рациональные аппроксимации чисел в левой части равенств по аналогии с https://oeis.org/A029549:
$$\sqrt{8}=3-\frac{1}{6}-\frac{1}{210}-\frac{1}{7140}-\ldots$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение24.03.2022, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Если
$$m=\frac{2\cdot n+1+\left(\sqrt{n^2+n-\frac{3}{4}}-n-\frac{1}{2}\right)^{2k-1}+\left(-\sqrt{n^2+n-\frac{3}{4}}-n-\frac{1}{2}\right)^{2k-1}}{-4n^2-4n+3},$$
то $\forall n,k\in\mathbb{N}$ числа $(2n-1)m+1, (2n+3)m+1$ одновременно являются полными квадратами.

Все указанные в предыдущем сообщении примеры являются частными случаями этого общего факта.

(Оффтоп)

Хотел бы обратиться к специалистам, известен ли этот результат (или что-то похожее), и если нет, то тянет ли он на публикацию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение25.03.2022, 03:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
juna в сообщении #1551034 писал(а):
$$m=\frac{2\cdot n+1+\left(\sqrt{n^2+n-\frac{3}{4}}-n-\frac{1}{2}\right)^{2k-1}+\left(-\sqrt{n^2+n-\frac{3}{4}}-n-\frac{1}{2}\right)^{2k-1}}{-4n^2-4n+3},$$


Перепишем это так: $-m(4n^2+4n-3)-(2n+1)={\left(\sqrt{n^2+n-\frac{3}{4}}-n-\frac{1}{2}\right)^{2k-1}+\left(-\sqrt{n^2+n-\frac{3}{4}}-n-\frac{1}{2}\right)^{2k-1}}$ и домножим почленно на $-1=(-1)^{2k-1}$:
$m(4n^2+4n-3)+(2n+1)={\left(n+\frac{1}{2}+\sqrt{n^2+n-\frac{3}{4}}\right)^{2k-1}+\left(n+\frac{1}{2}-\sqrt{n^2+n-\frac{3}{4}}\right)^{2k-1}}$ $=\left ( \dfrac{2n+1+\sqrt{(2n+1)^2-4}}{2} \right )^{2k-1}+\left ( \dfrac{2n+1-\sqrt{(2n+1)^2-4}}{2} \right )^{2k-1}.$
В правой части нечетные члены последовательности Люка ${\displaystyle \{V_{n}(P,Q)\}}$ при $P=2n+1,Q=1$. Странность в том, что указанная последовательность целочисленная, следовательно $m$ рациональное. Это Вам виднее, но на новизну претендовать тут не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение25.03.2022, 06:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Andrey A в сообщении #1551035 писал(а):
Странность в том, что указанная последовательность целочисленная, следовательно $m$ рациональное. Это Вам виднее, но на новизну претендовать тут не получится.


Я Вас не понял. Т.е. Вы считаете, что в формуле ошибка?

Вы можете в этом удостовериться сами, что $m$ будет целым числом, к тому же доставляющим полные квадраты для $(2n-1)m+1, (2n+3)m+1$.
Вот, например, код в maxima:
Код:
m(n,k):=(2*n+1+(sqrt(n^2+n-3/4)-n-1/2)^(2*k-1)+(-sqrt(n^2+n-3/4)-n-1/2)^(2*k-1))/(-4*n^2-4*n+3);

Код:
for k:1 thru 9 do print(expand(m(1,k)));
0
3
24
168
1155
7920
54288
372099
2550408


Код:
for k:1 thru 9 do print(expand(m(2,k)));
0
5
120
2760
63365
1454640
33393360
766592645
17598237480


Код:
for k:1 thru 9 do print(expand(m(3,k)));
0
7
336
15792
741895
34853280
1637362272
76921173511
3613657792752


Код:
for k:1 thru 9 do print(expand(m(4,k)));
0
9
720
56880
4492809
354875040
28030635360
2214065318409
174883129518960


и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение25.03.2022, 08:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
juna в сообщении #1551036 писал(а):
Т.е. Вы считаете, что в формуле ошибка?
Да вовсе нет, я этим даже не занимался. Просто до сих пор в левой части были кв. радикалы, а о целочисленности $m$ Вы не упомянули. Целое — чем не рациональное? Я к тому, что дело сводится к последовательностям Люка и вряд ли тянет на публикацию. Сократимость дроби как-то связана с тем, что $4n^2+4n-3=(2n-1)(2n+3)=(2n+1)^2-4$. Т.е. в знаменателе дискриминант $D$, и $V_n$ при делении на $D$ дает в остатке $P$. Для четных степеней, кстати, это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение25.03.2022, 08:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Целочисленность $m$, это не самый главный вопрос. На мой взгляд важнее, что получаются разом все последовательности, дающие попарные полные квадраты.

Поскольку, как Вы показали, там выплывают числа Люка, исследованные, как я понимаю, вдоль и поперек, факт попарных полных квадратов тоже наверное должен быть известен? Или он тривиально следует, из того, что это числа Люка?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 189 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group