Сопряжённые операторы

[nestoklon]

ewert в сообщении #154690 писал(а):

А вот, кстати, и не всегда!

А я где-то утверждал, что всегда? Я предложил получить этот результат, не пользуясь классическим определением.

[ewert]

ну, кстати, этот результат Вы никаким способом не получите -- ни классическим, ни неклассическим. У оператора импульса вообще нет собственных чисел (если только он не на отрезке). А если есть, то самосопряжённость для доказательства не нужна, достаточно симметричности.

[MGM]

ewert писал(а):

"Ортогональное дополнение до множества значений есть множество нулей сопряжённого оператора". А между тем -- это ведь признак разрешимости операторных задач.

Прямо так и формулируется? Отвык я от математических определений.
Но вроде бы нули раньше заменяли как-то.
Типа совокупность решений однородного уравнения относительно сопряжённого оператора.
Уж больно режет слух множество нулей. Почти пустое множество.
Ну да бог сним.

[bubu gaga]

Задам последний вопрос, может он и не в тему, но всё равно.Когда ищется проекция в линейной регрессии (матрица $A$ - высокая)

$$ Ax = b $$

это случайно, что мы пользуемся сопряжённым оператором?

$$ A^TAx = A^Tb $$

[nestoklon]

ewert в сообщении #154775 писал(а):

У оператора импульса вообще нет собственных чисел (если только он не на отрезке).

Мне, как физику, это утверждение не понять.
Продолжая Вашу мысль, неужели у оператора гамильтона тоже нет собственных чисел? Если он не на отрезке?..

[mkot]

bubu gaga писал(а):

Задам последний вопрос, может он и не в тему, но всё равно.Когда ищется проекция в линейной регрессии (матрица $A$ - высокая)

$$ Ax = b $$

это случайно, что мы пользуемся сопряжённым оператором?

$$ A^TAx = A^Tb $$

Транспонирование там появляется из того, что минимизируется функционал
$\left<\mathcal{E}, \mathcal{E}\right> = \mathcal{E}^{T}\cdot\mathcal{E}$.
где $\mathcal{E}$ столбец (сериальных) ошибок.
Вот из-за этого транспонироваания в ответе и получается
$x = (A^TA)^{-1}A^Tb$.

[ewert]

MGM писал(а):

Но вроде бы нули раньше заменяли как-то.

Да, заменяли и заменяют. "Множество нулей" очень часто называют "ядром оператора". Что крайне неудачно, ибо "ядро" -- это функция двух аргументов, задающая интегральный оператор. А как раз именно в связи с интегральными операторами эта теорема очень и уместна.

Добавлено спустя 8 минут 3 секунды:

nestoklon писал(а):

ewert в сообщении #154775 писал(а):

У оператора импульса вообще нет собственных чисел (если только он не на отрезке).

Мне, как физику, это утверждение не понять.
Продолжая Вашу мысль, неужели у оператора гамильтона тоже нет собственных чисел? Если он не на отрезке?..

Совершенно верно, нет. У них есть точки непрерывного спектра, которые некоторые любят называть "собственными числами непрерывного спектра", но это -- не более чем физический жаргон. Никакие они не собственные.

Хотя у оператора энергии (я так понял, что под гамильтонианом понимался именно он) при наличии потенциала наряду с непрерывным спектром обычно имеется и дискретный, и вот там числа -- воистину собственные.

Добавлено спустя 5 минут 34 секунды:

bubu gaga писал(а):

Задам последний вопрос, может он и не в тему, но всё равно.Когда ищется проекция в линейной регрессии (матрица $A$ - высокая)

$$ Ax = b $$

это случайно, что мы пользуемся сопряжённым оператором?

$$ A^TAx = A^Tb $$

Не случайно. Решение второй системы -- это то, что принято называть "псевдорешением" первой. Которое по определению есть вектор, минимизирующий невязку этой первой системы (т.е. $\Vert A\vec x-\vec b\Vert=\min$), уж коль скоро точного решения у системы нет. А это как раз и является смыслом метода наименьших квадратов. (Норма, разумеется, предполагается евклидовой.)

[nestoklon]

ewert в сообщении #155012 писал(а):

У них есть точки непрерывного спектра, которые некоторые любят называть "собственными числами непрерывного спектра", но это -- не более чем физический жаргон. Никакие они не собственные.

Не могли бы вы пояснить глубокую математическую разницу между собственным числом и точкой непрерывного спектра? Ну, если не апеллировать к математическому жаргону?

[AD]

nestoklon в сообщении #155040 писал(а):

Не могли бы вы пояснить глубокую математическую разницу между собственным числом и точкой непрерывного спектра?

В бесконечномерных пространствах бывают случаи, когда оператор необратим, но ядро у него все равно нулевое. Когда ядро $A-\lambda\mathbf{1}$ ненулевое - тогда $\lambda$ - "собственное число". Дальше идет "непрерывный спектр" - это когда ядро ноль, а образ плотен в пространстве, но не есть всё пространство. И "остаточный спектр" - когда образ даже не плотен.

[shwedka]

nestoklon в сообщении #154652 писал(а):

оператор импульса самосопряжённый и (в некотором роде) потому его собственные значения вещественные.

Совершенно неверно. ровно наоборот. собственные значения вещественны, поскольку оператор самосопряжен.

А о важности самосопряженности почитайте, например, во втором томе Рида-Саймона, Методы современной математичаской физики. Самосопряженность необходима для существования унитарной динамики.

AD в сообщении #154668 писал(а):

Типа что если оператор обладает каким-то свойством, то сопряженный тоже им обладает.

Ну, поаккуратнее!! Скажем, если оператор- мономорфизм, то сопряженный вовсе не обязательно. Спектр, правда, один и тот же.

[nestoklon]

AD в сообщении #155042 писал(а):

В бесконечномерных пространствах бывают случаи, когда оператор необратим, но ядро у него все равно нулевое. Когда ядро $A-\lambda\mathbf{1}$ ненулевое - тогда $\lambda$ - "собственное число". Дальше идет "непрерывный спектр" - это когда ядро ноль, а образ плотен в пространстве, но не есть всё пространство. И "остаточный спектр" - когда образ даже не плотен.

Это я всё знаю и местами даже понимаю.
И что из этого следует? Что для свойств непрерывной части спектра оператора становится глубоко фиолетово, самосопряжённый у нас оператор или нет? Я ж неспроста подчеркнул "в некотором роде". Кому надо, тот поймёт. Кому не надо -- не заметит. Оказалось, что есть ещё третья категория...

[AD]

shwedka в сообщении #155054 писал(а):

Ну, поаккуратнее!!

Не, ну я ж вроде ничего конкретного не утверждал ... У меня еще лучше пример есть: оператор $A$ равен $A$, но $A^*$ не всегда равен $A$ ...

[nestoklon]

shwedka в сообщении #155054 писал(а):

ровно наоборот. собственные значения вещественны, поскольку оператор самосопряжен.

А я что написал?
оператор импульса самосопряжённый $\Rightarrow$ его собственные значения вещественные.

"Потому" и "потому что" -- не синонимы.

[shwedka]

nestoklon
Виновата. зрение подвело.

[ewert]

nestoklon писал(а):

оператор импульса самосопряжённый $\Rightarrow$ его собственные значения вещественные.

Он не всегда самосопряжён.