Разрешение диофантового уравнения 2 степени от 2 переменных

[Zeddikus]

Добрый день. Где можно посмотреть "от и до" алгоритм для определения существования в целых числах уравнения
$Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0$
?
Все решения не нужны. Достаточно только определить, существует или нет.

Читал Гельфонда А.О., но там просто посоветовали привести к виду $x^{2}-Ay^{2}=C$, однако полного алгоритма приведено не было.

Спасибо.

[nnosipov]

Zeddikus в сообщении #1547385 писал(а):

однако полного алгоритма приведено не было

Можно попробовать написать его самостоятельно. См. также Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. М.: Мир, 1980. (стр. 402).

[vicvolf]

Zeddikus в сообщении #1547385 писал(а):

$Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0$

С помощью параллельного переноса (посмотрите учебник по линейной алгебре и аналитической геометрии) данное общее уравнение кривой второго порядка приводится к виду, когда $D=0,E=0$, а далее посмотрите Бухштаб "Теория чисел", Москва , 1966 стр.278.

[lel0lel]

Zeddikus в сообщении #1547385 писал(а):

посоветовали привести к виду $x^{2}-Ay^{2}=C$, однако полного алгоритма приведено не было

Попробуйте на частном случае: $5x^2+15xy-7y^2+16x+y-11=0$. Начните с приведения квадратичной формы.

[dmd]

$$Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0 \implies $$

$$\Big(y (4 A B-C^2)+2 A E-C D\Big)^2 +(4 A B-C^2) \Big(2 A x+C y+D\Big)^2 = 4 A \Big(B D^2- C D E+A E^2 - (4 A B-C^2)F\Big)$$

В зависимости от знака и квадратности $(4 A B-C^2)$ алгоритм ветвится на три ветви: либо уравнение Пелля решаем, либо квадратный Туе, либо разность квадратов (если $(4 A B-C^2)$ отрицательный полный квадрат).