Не могу доказать отсутствие решения у системы диофантовых

[Zeddikus]

У меня есть гипотеза, что данная система уравнений не имеет решения при $y, c, d\in\mathbb{Z}$ и $t\in\mathbb{N}$:
$\begin{equation*} \begin{cases} t^{2}+y^{2}=c^{2}, \\ t^{2}+(y+t)^{2}=d^{2}. \end{cases} \end{equation*}$
Как доказать?

Что я смог получить:
Можно заметить, что $y\neq0$, так как во втором уравнении получим $\sqrt{2}$.
Аналогично, $y\neq-t$.
При $t=1$ первое уравнение не имеет решения, так как 2 квадрата натуральных чисел не могут идти друг за другом.
Аналогично при $t = 2$.
А вот при $t=3$ первое уравнение имеет 4 решения $|y| = 4, |c| = 5$, но тогда второе уравнение неразрешимо.
При $t=4$ первое уравнение имеет 4 решения $|y| = 3, |c| = 5$, но тогда второе уравнение неразрешимо.
Как бы это распространить на любое $t$?

[nnosipov]

Zeddikus в сообщении #1546718 писал(а):

Как доказать?

Исключите $t$ и получите однородное уравнение 4-й степени. Положите в нем, например, $y=1$ и получите уравнение $f(c,d)=0$. Достаточно доказать, что оно не имеет (нетривиальных или вообще никаких) решений в рациональных числах. Это уравнение эллиптической кривой. Перейдите к форме Вейерштрасса: получится что-то типа $v^2=u^3-512u+4096$. Можно проверить (например, вот здесь https://sagecell.sagemath.org), что ранг этой кривой равен нулю.

Элементарное доказательство может быть достаточно сложным (если вообще возможным).

[lel0lel]

Можно поизучать такой вопрос: сколькими способами квадрат можно представить в виде разности квадратов. Выглядит несложно. Параметризация пифагоровых в помощь.

[lel0lel]

Вопрос выше сам по себе любопытный, и ответ на него уже известен. В поиске элементарного решения он правда никак не помогает. Но решить элементарными методами эту задачу можно, довольно красивое решение получается.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1546753 писал(а):

Но решить элементарными методами эту задачу можно

Видимо, да. Очевидно, методом спуска. У меня пока все свелось к уравнению $x^4+3x^2y^2+y^4=\square$, которое кажется знакомым.

[scwec]

Отсылаю к https://dxdy.ru/topic47513-15.html.
Здесь (на стр.3) в т.ч. изложено искомое элементарное доказательство отсутствия решений у системы из условия задачи.

[nnosipov]

То-то у меня было ощущение deja vu.

[victor.l]

Если диофантово уравнение $t^2+y^2=c^2$ имеет решения то при $(t,y)=1$ второе уравнение решений не имеет поскольку это сумма двух нечетных квадратов. Обобщить не проблема.

[victor.l]

ошибся.