2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Сопряжённые операторы
Сообщение30.10.2008, 15:12 
Аватара пользователя
Определение

$$ \langle Lv, w \rangle = \langle v, L^*w \rangle $$

Вопрос про мотивацию такого определения. Зачем выделять такие операторы вообще? В конечномерных пространствах всё на первый взгляд довольно просто. Есть ли какой-нибудь пример, где видно как переход к сопряжённому оператору упрощает задачу?

Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 15:20 
Например, это понятие используется в теоремах Фредгольма о разрешимости системы $Ax=b$.

 
 
 
 Re: Сопряжённые операторы
Сообщение30.10.2008, 16:48 
bubu gaga писал(а):
Определение

$$ \langle Lv, v \rangle = \langle v, L^*v \rangle $$

Вопрос про мотивацию такого определения. Зачем выделять такие операторы вообще? В конечномерных пространствах всё на первый взгляд довольно просто. Есть ли какой-нибудь пример, где видно как переход к сопряжённому оператору упрощает задачу?

Спасибо!

О-о, это -- крутой вопрос. Дело в том, что для матриц определение эрмитового сопряжёния часто формулируют как транспонирование плюс комплексное сопряжение. Но это выглядит как некий формальный трюк, и непонятно зачем.

А вот эквивалентное этому определение сопряжения на языке скалярных произведений -- весчь уже весьма идейная и распространяется вовсе не только на матрицы, а на гораздо более широкий круг объектов.

Наиболее впечатляющее приложение -- такая универсальная и простенькая (но эффектная) теорема, звучащая прям как стихи: "Ортогональное дополнение до множества значений есть множество нулей сопряжённого оператора". А между тем -- это ведь признак разрешимости операторных задач.

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 17:30 
Gafield в сообщении #154480 писал(а):
Например, это понятие используется в теоремах Фредгольма о разрешимости системы $Ax=b$.


Маленькое уточнение. Теоремами Фредгольма обычно называют те,
которые рассматривают оператор $A=I-K$, $K$ - компактный. Или
более широкий класс нормально разрешимых операторов, для которых
дополнение к ядру сопряженного совпадает с образом.

 
 
 
 Re: Сопряжённые операторы
Сообщение30.10.2008, 22:26 
Аватара пользователя
Правильно ли я понял, что сопряжённость - это "транспонирование" для операторов на пространствах любых размерностей?

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 22:31 
Во всяком случае, эту фразу весьма трудно опровергнуть. :roll:

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 22:55 
Аватара пользователя
Хм. Ладно попробую другой вопрос задать. Можнет ли кто-нибудь привести пример нетривиальной сопряжённой пары операторов, чтобы впечатлиться?

Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 23:15 
Ну, например, сопряженность друг другу операторов сдвига влево и вправо на $\ell_2(\mathbb{Z})$ вас удивит? Или тривиально?
(здесь $\ell_2^*\sim \ell_2$)


P.S. Щас, только как-то вы странно определение привели. $v$ и $v$ - это один и тот же вектор? :o

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 23:32 
Смотря что называть тривиальным. Меня всегда смущали в этом месте всякие операторы дифференцирования. Это вполне себе нетривиально, что оператор импульса самосопряжённый и (в некотором роде) потому его собственные значения вещественные. Попробуйте показать это, не пользуясь классическим определением.

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 23:35 
AD в сообщении #154650 писал(а):
$v$ и $v$ - это один и тот же вектор?
Даже чайники заинтересовались вопросом...

 
 
 
 
Сообщение30.10.2008, 23:52 
Аватара пользователя
AD писал(а):
Щас, только как-то вы странно определение привели.

Ой :oops: Поправил

Сдвиг последовательности - это ведь всё равно матрица, пусть и бесконечная?

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 00:09 
Ну хорошо, ну давайте сдвигать функции в $L_\infty(\mathbb{R})$ ...

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 00:15 
Аватара пользователя
AD писал(а):
Ну хорошо, ну давайте сдвигать функции в $L_\infty(\mathbb{R})$ ...


Да, неплохо получается. А сопряжённые операторы всегда "похожи" на обратные, или это особенность примера?

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 00:35 
bubu gaga в сообщении #154665 писал(а):
А сопряжённые операторы всегда "похожи" на обратные, или это особенность примера?
Ну есть разные теоремы по этому поводу. Типа что если оператор обладает каким-то свойством, то сопряженный тоже им обладает. Вообще, да, по идее, похожи.

Вот вам еще пример: неопределенные интегралы $\int_0^xf(t)\,dt$ и $\int_x^1f(t)\,dt$ на $L_2[0,1]$. (тоже, конечно, "матрицы повсюду, они окружают нас ...")

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 07:10 
nestoklon писал(а):
Смотря что называть тривиальным. Меня всегда смущали в этом месте всякие операторы дифференцирования. Это вполне себе нетривиально, что оператор импульса самосопряжённый и (в некотором роде) потому его собственные значения вещественные. Попробуйте показать это, не пользуясь классическим определением.

А вот, кстати, и не всегда! Оператор импульса на полуоси -- вовсе не самосопряжён, и сделать его самосопряжённым не выйдет никакими усилиями, и этот факт прекрасно согласуется с физикой.

Добавлено спустя 25 минут 20 секунд:

bubu gaga писал(а):
А сопряжённые операторы всегда "похожи" на обратные, или это особенность примера?

Это -- особенность примера. Оператор сдвига -- унитарен, а для унитарных операторов сопряжённый всегда равен обратному. Собственно, это -- одно из эквивалентных определений унитарности.

 
 
 [ Сообщений: 47 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group