xagiwoЯ с этим вопросом и сам только недавно немного разобрался.
Как на плоскости определить, что один отрезок, который здесь, здесь параллелен другому отрезку, который там? Нам нужно взять первый отрезок и двигать его параллельно самому себе, пока мы не передвинем его ко второму отрезку. Если они совпали - то они были параллельны. Тут нам пришлось перемещать один отрезок к другому по какому-то пути. А что, если выбрать другой путь? Легко видеть, что на плоскости это не имеет значения: если отрезки совпали при перемещении по одному пути, они совпадут и при перемещении по любому другому пути. Тут предполагается, что мы знаем, как двигать отрезок параллельно самому себе, т.е. что такое параллельность двух бесконечно близких отрезков.
Теперь возьмем искривленную поверхность и для наглядности приблизим ее полигональной поверхностью (т.е. разбитой, скажем, на плоские треугольники). Теперь вся искривленная поверхность состоит из граней, ребер и вершин. Параллельность малых отрезков, расположенных, на одной грани - это просто параллельность на плоскости. Для ее проверки мы делаем то же, что и выше. Теперь возьмем два отрезка на соседних гранях. Эти грани имеют общее ребро. Как проверить параллельность отрезков на этих гранях? Как перенести отрезок через ребро? Очень просто: нужно разогнуть это ребро в плоскость, как мы разгибаем сложенный лист бумаги обратно (при этом одну из граней придется на время "вырвать" из поверхности, но после переноса мы просто вставляем ее обратно). Т.е. ребро ничем не отличается от плоского места.
Проблемы начинаются, когда мы хотим попробовать другой путь переноса. Пока все эти пути пересекают только это ребро - нет проблем. Но как только мы решим перенести отрезок в обход какой-нибудь вершины, то сразу заметим: результат проверки параллельности начинает зависеть от пути переноса.
Допустим, что ближайшая вершина - это угол куба. В ней сходятся три ребра и три грани. Наши отрезки располагаются каждый на своей грани (одна грань пустая). Допустим, мы перенесли отрезок через соседнее ребро и они совпали. Значит, они были параллельны. А теперь мы переносим его через другое ребро, пустую грань и второе ребро. Можете убедится, что если в первом случае отрезки оказались параллельными, то в этом случае они окажутся перпендикулярными.
Проведем еще более простой опыт: перенесем отрезок параллельно самому себе по замкнутому контуру. Мы заметим, что пока внутрь контура не попадает ни одной вершины - все происходит, как на плоскости - отрезок при возвращении совпадает с самим собой, каким он был в начале пути. Но как только внутрь контура попадает хотя бы одна вершина - отрезок при возвращении перестает совпадать с самим собой. Т.е. он все время переносился параллельно самому себе и должен был вроде бы сохранить свойство параллельности, тем не менее он вернулся не параллельным самому себе, каким он был в начале пути.
В чем дело? Ясно, что все дело в вершине. В ней сходятся три грани, углы которых в сумме дают
, т.е меньше
(потому и образовалась вершина, а не плоское место, которое получилось бы, например, если бы в вершине сходились четыре грани в виде квадратов). Именно на этот дефицит угла и поворачивается отрезок при перенесении по замкнутому контуру, если внутрь контура попадает такая вершина. Т.е. при приближении плавной искривленной поверхности полигональной поверхностью ее кривизна "концентрируется" в вершинах.
Так параллельны или перпендикулярны два отрезка на соседних гранях? Мы убедились, что правило сравнения при параллельном переносе дает разный результат при разных путях переноса. Это значит, что нет однозначного способа сравнить удаленные отрезки. Можно сказать только, что если сравнить так - то параллельны, а если по другому - то не параллельны.
Единственное, что остается однозначным - это параллельность двух бесконечно близких отрезков, т.е. мы знаем только, как шаг за шагом переносить отрезок параллельно самому себе. Но мы не можем сказать, что если мы его так переносим, то в конце пути он все еще параллелен самому себе в начале пути. Можем только сказать, что он на каждом следующем шаге оставался параллелен себе на предыдущем шаге.
-- 23.12.2021, 03:59 --iifatЕсли дана поверхность, то пространство метрическое. Прямые там можно определить, как геодезические.
