Геометрия возникла как прикладная наука, собрание эмпирических фактов и эмпирических приёмов, в частности, для землемерия (что, собственно, и есть γεωμετρία в переводе на греческий). Скажем, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 прямоугольный.
Но развилась потребность отыскивать новые факты и методы не эмпирически, а логически, опираясь на небольшое количество утверждений, принимаемых без доказательства, а только на основании того, что их эмпирически проверяли и сочли истинными. Причём проверка должна быть очень проста и не зависеть от погрешности инструментов. С этой точки зрения пятый постулат выглядел возможным источником ошибок. Его пытались либо исключить, выведя из прочих, как теорему, либо заменить другим, очевидным и легко проверяемым. В пользу возможности первого говорило то, что IV постулат, "все прямые углы равны", оказался доказуемой теоремой. Но с V так не получалось, и его пытались заменить иным, из которого он следовал бы. Начиная с Прокла
Цитата:
В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
и далее
Цитата:
Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.
Существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса, 1693). И здесь достаточно, чтобы существовала хотя бы одна пара таких треугольников.
Любую фигуру можно пропорционально увеличить.
Вариант: существует по меньшей мере одна фигура, которую можно пропорционально увеличить.
Существует треугольник сколь угодно большой площади.
Прямая, проходящая через точку внутри угла (меньшего, чем
), пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Иоганна Фридриха Лоренца, 1791).
Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны (одно из предположений Лежандра, 1800).
Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.
Вариант: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются. Утверждение известно как постулат Лежандра, хотя эта формулировка встречалась ещё в XIII веке у ат-Туси.
Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую.
Вариант: расстояние между параллельными прямыми всегда постоянно, то есть параллельные прямые не могут ни сближаться, ни расходиться.
Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться (аксиома Роберта Симсона, 1756).
Вариант: Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую — сближаются.
Сумма углов одинакова у всех треугольников.
Вариант: существует, как минимум, одна пара неравновеликих треугольников с одинаковой суммой углов.
Существует треугольник (по меньшей мере один), сумма углов которого равна двум прямым.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома Остроградского, 1855).
Линия, ортогональная некоторому семейству параллельных прямых, является прямой.
Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.
Для всякого невырожденного треугольника существует описанная окружность (аксиома Фаркаша Бойяи).
Справедлива теорема Пифагора (как минимум в одном прямоугольном треугольнике).
Вариант: пространство имеет Евклидову метрику.
Отношение длины окружности к её диаметру является константой, то есть одинаково для любой окружности.
Существует окружность (хотя бы одна), у которой отношение длины окружности к её диаметру равно числу Пи.
Но ни одна из этих формулировок не удовлетворяла вполне. Либо надо было делать утверждения о бесконечно удалённых точках, либо опираться на результаты измерений, которые заведомо отягощены ошибками.
Поэтому работа продолжалась - в полной уверенности, что постулат верен, мы просто не смогли пока найти убедительную его формулировку. Такая точка зрения сильно повлияла на философию, например, Кант полагал, что евклидова геометрия известна apriori.
И новизна неевклидовой геометрии именно в том, что факт, признаваемый философами известным до опыта, но и опытами подтверждаемый, вдруг оказывается не более чем вопросом соглашения, "правилами игры", а эмпирические его подтверждения работают в определённых условиях и верны с определённой точностью.
в уравнениях ОТО). Отсюда, конечно, не следует, что одна только сама по себе возможность такой модификации тут же указывает на то, что эти параметры что-то значат и требуют точного определения. Способов такой модификации можно придумать сколько угодно.
