Множество сходящихся последовательностей

[id]

$\mathfrak{N} ^ \mathfrak{N_0} = 2^{\mathfrak{N_0} \times \mathfrak{N_0}} = 2^{\mathfrak{N_0}} = \mathfrak{N}$

Ну и теорема Кантора-Бернштейна, конечно.

[Профессор Снэйп]

1) Каждому числу $r \in \mathbb{R}$ сопоставляем последовательность $r,r,r,\ldots$

2) Вспоминаем, что множество всех последовательностей континуально.

3) Применяем теорему Кантора-Бернштейна.

[mvb13]

Кажется получилось собрать все вместе:

(1) Множество $\mathbb{R}$ вкладывается в множество всех сходящихся последовательностей .

(2) Множество всех сходящихся последовательностей является подмножеством всех последовательностей и вкладывается в него.

(3) Между $\mathbb{R}$ и множеством всех последовательностей существует взаимно однозначное соответствие.

(4) Из (3) и (1) множество всех последовательностей вкладывается в
множество всех сходящихся последовательностей.

(5) Из (2) и (4) по теореме Кантора-Бернштейна множества всех сходящихся последовательностей и всех последовательностей равномощны и равны мощности континуума.

[mvb13]

Помогите пожалуйста решить еще такую задачу:

Доказать, что в любом частично упорядоченном множестве есть максимальная (по включению) цепь. (теорема Куратовского-Хаусдорфа)

(1) Что означает максимальная по включению?
(2) С чего начать решение?

[AD]

mvb13 в сообщении #154529 писал(а):

Что означает максимальная по включению?

Это значит, что любая другая цепь в нее включена.

[AGu]

mvb13 писал(а):

С чего начать решение?

Вспомнить про лемму Цорна и смекнуть, что она применима не только к рассматриваемому частично упорядоченному множеству, но и к кое-какому другому.

[mvb13]

Согласно лемме Цорна , если в частично упорядоченном множестве каждая цепь имеет верхнюю границу, то в данном множестве имеется хотя бы один максимальный элемент.

Пусть $a$ максимальный элемент частично упорядоченного множества. Тогда $\Gamma=\{x \in \Gamma| x\leqslant a \}$ будет являться максимальной по включению цепью.

Цитата:

Вспомнить про лемму Цорна и смекнуть, что она применима не только к рассматриваемому частично упорядоченному множеству, но и к кое-какому другому.

Можно ли применить лемму Цорна к линейно упорядоченному множеству? В таком множестве каждое подмножество является цепью и для каждой цепи существует мажоранта.

[AGu]

mvb13 писал(а):

Согласно лемме Цорна , если в частично упорядоченном множестве каждая цепь имеет верхнюю границу, то в данном множестве имеется хотя бы один максимальный элемент.

Пусть $a$ максимальный элемент частично упорядоченного множества.

Ошибка. Максимальный элемент может отсутствовать. (В условии говорится о произвольном ч.у.м.е, а лемма Цорна гарантирует существование максимального элемента не для любого ч.у.м.а.)

mvb13 писал(а):

Тогда $\Gamma=\{x \in \Gamma| x\leqslant a \}$ будет являться максимальной по включению цепью.

Нет, так как это множество может не оказаться цепью.

mvb13 писал(а):

Можно ли применить лемму Цорна к линейно упорядоченному множеству? В таком множестве каждое подмножество является цепью и для каждой цепи существует мажоранта.

Насчет цепей -- верно, насчет мажорант -- нет. (Кстати, для такого множества Лемма Цорна не нужна: очевидно, что оно само будет своей максимальной цепью.)

Увы, пока все мимо.

[mvb13]

$P$-исходное частично упорядоченное множество
$Q$-множество всех линейно упорядоченных подмножеств множества $P$
$Q$ частично упорядочено операцией включения

$C$ любая цепь из $Q$
Можно ли в качестве верхней границы взять объединение множеств из $C$ ?

[AGu]

Вот теперь -- в точку! Поздравляю.

[mvb13]

Помогите ,пожалуйста ,с решением последней задачи:

Какие из следующих ординальных чисел равны между собой : $\omega^2$,
$\omega+\omega^2+1$, $\omega^2+1+\omega$.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$\omega^2 \neq \omega+\omega^2+1$,
$\omega^2+1+ \omega \neq \omega+\omega^2+1$ (так как множество соответствующее ординалу $\omega+\omega^2+1$, имеет максимальный элемент, а два других нет)

Множество соответствующее ординалу $\omega^2$ изоморфно начальному отрезку $\omega^2+1+\omega$.Обратно неверно. Значит $\omega^2 < \omega^2+1+\omega$

Получается что равных ординалов нет.
Правильно ли мое решение?

[AGu]

Все правильно.

mvb13 писал(а):

Множество соответствующее ординалу $\omega^2$ изоморфно начальному отрезку $\omega^2+1+\omega$.Обратно неверно.

Тот факт, что "обратное неверно," нуждается в доказательстве.