Множество сходящихся последовательностей

[mvb13]

Найти мощность множества всех сходящихся последовательностей действительных чисел.

У меня не получается построить вложение данного множества в $2^N$ (или в отрезок $[0,1])$ и наоборот . Можно ли вообще построить такие вложения (если можно подскажите пожалуйста как это сделать) ?

[Brukvalub]

Я бы поступил так: записал бы каждое действительное число в виде бесконечной десятичной дроби и воспользовался тем, что все члены последовательности, сходящейся к данному числу, кроме конечного их подмножества, имеют тот же знак на к-м месте в десятичной записи членов, что и предел.

[AD]

А я бы сначала нашел мощность множества всех последовательностей ...

Добавлено спустя 1 минуту 22 секунды:

mvb13 в сообщении #153225 писал(а):

Можно ли вообще построить такие вложения (если можно подскажите пожалуйста как это сделать) ?

То бишь можно. Разделите множество разрядов числа из $[0,1]$ на счетное число бесконечных последовательностей.

[worm2]

Подумайте, можно ли паре действительных чисел взаимно однозначно сопоставить одно действительное число? Это стандартный вопрос, ответ на него Вы должны знать.
А тройке? А n-ке? А бесконечной последовательности?

Добавлено спустя 44 секунды:

Опередили

[bubu gaga]

worm2 то бишь выписать десятичные записи членов последовательности $(x_n)$ и по диагонали найти соответствующий элемент $\mathbb{R}$?

$$x_1 = a_1 \, a_2 \, a_3 \dots $$

$$x_2 = b_1 \, b_2 \, b_3 \dots $$

$$x_3 = c_1 \, c_2 \, c_3 \dots $$

Получаем действительное число

$$a_1 \; b_1 \, a_2 \; c_1 \, b_2 \, a_3 \dots $$

Не совсем понятно зачем сходимость в условии задачи

[worm2]

bubu gaga, всё правильно.
А сходимость --- это, наверное, чтобы запутать

[Brukvalub]

worm2 в сообщении #153239 писал(а):

А сходимость --- это, наверное, чтобы запутать

Или решать так, как предложил я.

[worm2]

Ну, ещё всё-таки нужно показать, что мощность множества всех сходящихся последовательностей не меньше, чем мощность множества всех действительных чисел. Очевидность, конечно, но без этого к решению могут придраться.
(это я к тому, зачем сходимость в задаче. Или да, использовать её, как Brukvalub)

[Профессор Снэйп]

mvb13 писал(а):

Найти мощность множества всех сходящихся последовательностей действительных чисел.

Гы!... Каждый год даю эту задачу на зачёте

Вспомните, чему равна мощность множества всех последовательностей и воспользуйтесь теоремой Кантора-Бернштейна.

[mvb13]

bubu gaga
Как в Вашей записи чисел определить где целая ,а где дробная часть числа?

[bubu gaga]

mvb13

Например можно для начала переписать $\dots x_3 \, x_2 \, x_1 \, , \, y_1 \, y_2 \, y_3 \dots$ как $ x_1 \, y_1 \, x_2 \, y_2 \, x_3 \, y_3 \dots$ а потом уже по диагонали.

[mvb13]

Получается ,что для каждого действительного числа с целой и дробной частями задается действительное число, только с целой частью . Между начальной последовательностью и полученной существует взаимнооднозначное соответсвие. Затем новой последовательности ставится в соответсвие действительное число . Соответствие также взаимноодначно. Значит мощность множества всех последовательностей равна мощности множества всех действительных чисел ,т.е. равна мощности континуума. Множество всех сходящихся последовательностей содержится в множестве всех последовательностей.

worm2
Подскажите пожалуйста как показать, что мощность множества всех сходящихся последовательностей не меньше, чем мощность множества всех последовательностей.

[bubu gaga]

mvb13 Если я прильно понял Профессора Снэйпа, то решение значительно проще.

Каждой сходящейся последовательности можно однозначно поставить в соответствие действительное число (собственно предел). Для каждого числа можно однозначно придумать последовательность к этому числу сходящуюся.

Появляется достаточный повод применить Кантора-Бернштейна

[mvb13]

bubu gaga писал(а):

Каждой сходящейся последовательности можно однозначно поставить в соответствие действительное число (собственно предел). Для каждого числа можно однозначно придумать последовательность к этому числу сходящуюся.

Непонятно, как каждому числу(пределу последовательности) однозначно поставить в соответствие сходящующуся последовательность , ведь несколько сходящихся последовательностей могут иметь одинаковые пределы.

[bubu gaga]

mvb13 писал(а):

Непонятно, как каждому числу(пределу последовательности) однозначно поставить в соответствие сходящующуся последовательность , ведь несколько сходящихся последовательностей могут иметь одинаковые пределы.

Нужна инъекция в подмножество, и наоборот, а сюрьекция уже следует. Последовательность возникает например, когда мы берём десятичную запись без девяток в периоде

$$ 3, 3.1, 3.14, 3.141 \dots $$