Всех приветствую! Уже несколько дней думаю об одной формальной детали в док-ве, с которой никкинеимогу управиться.
Задача следующая: доказать, что если функция

имеет на отрезке
![$[a;b]$ $[a;b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5ff45e36cee967b17a810445d436aaa82.png)
непрерывную производную, то

может быть представлена в виде разности двух монотонных функций.
Идея у меня полностью готова. Надо лишь рассмотреть функции

и

, определённые следующим образом: функция

совпадает с

там, где

, и тождественна нулю там, где

(я написал

, однако это ни на что не влияет);

совпадает с

там, где

, и тождественна нулю там, где

. Тогда получается, что
![$f’(t) = \varphi(t) + \psi(t)\;\; ∀t ∈ [a;b]$ $f’(t) = \varphi(t) + \psi(t)\;\; ∀t ∈ [a;b]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/1/d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e82.png)
. Тогда, проинтегрировав обе части последнего равенства на промежутке
![$[a;x]$ $[a;x]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/a/07a3a15b700af941e6c7410ae89bad9882.png)
, где

меняется от

до

, мы получим, что

где

— некоторая постоянная. Так как функция

является, по своему определению, неотрицательной, то её неопределённый интеграл, будучи её первообразной, будет монотонно возрастающей на отрезке
![$[а;b]$ $[а;b]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/1/091afbc5f58a5209f0e51f792013ac7f82.png)
функцией. Аналогично, неопределённый интеграл от функции

будет монотонно убывающей функцией, ведь

неположительна на
![$[a;b]$ $[a;b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5ff45e36cee967b17a810445d436aaa82.png)
. Следовательно, если домножить её на

, то последняя функция станет монотонно возрастающей. Отсюда
![$f(x) = [\varphi(x) + A] - \psi(x)$ $f(x) = [\varphi(x) + A] - \psi(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/1/ad161d1be673ff604eda2f7294c7be5682.png)
, где как вычитаемое, так и уменьшаемое, есть монотонно возрастающие функции (

).
Проблема, однако, в другом. Когда я оформлял решение задачи, то я дошёл до шага с доказательством непрерывности функций

и

на
![$[a;b]$ $[a;b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5ff45e36cee967b17a810445d436aaa82.png)
. Я полностью понимаю причину, по которой они являются непрерывными, однако для формального обоснования этих фактов нужно кучу всего доказать. Я рассмотрел случаи, когда в точке
![$\xi \in [a;b]$ $\xi \in [a;b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/2964c6ece72cbe27a7d29c259ce8484382.png)
, непрерывность в которой мы хотим установить (я рассматривал функцию

, ведь для

док-во было бы аналогичным), функция

принимает положительное значение (тогда в некоторой окрестности точки

совпадает с

), и отрицательное значение (тогда в некоторой окрестности точки

тождественна нулю). В этих случаях непрерывность достаточно просто доказывается, если доказать несколько вспомогательных утверждений. Однако с точками, где

ситуация обстоит сложнее. Я знаю, что это нужно свести к рассмотрению левого и правого односторонних пределов функции

в точке

, однако возможно достаточно много частных случаев, которые дóлжно разбирать отдельно (например, когда

,

; или когда в обоих полуокрестностях точки

функция

неотрицательна/отрицательна; либо же когда в одной из полуокрестностей функция

положительна, а в другой — отрицательна и т.д.).
Так вот, хотел спросить: можно ли это всё сделать проще? Я говорю именно о формальных тонкостях обращения с точками

такими, что

. Мне не нужно другое решение.
Я мог бы поступить гораздо проще, сказав, что «очевидно, что эти функции непрерывны на
![$[a;b]$ $[a;b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5ff45e36cee967b17a810445d436aaa82.png)
», но сами понимаете, для меня это не вариант. Хотя с точки зрения учебника этот вариант был бы логичным, ведь интуитивные соображения в нём играют далеко не последнюю роль (автор сам позиционирует так свой курс). Непрерывность мне нужно доказать для обеспечения интегрируемости

и

на
![$[a;b]$ $[a;b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/f/f5ff45e36cee967b17a810445d436aaa82.png)
.
Учебник: Курант Р., «Курс Дифференциального и Интегрального исчисления», Том 1, задача сразу после приложения о существовании определёного интеграла непрерывной функции (она там единственная).