(Матан) Трудность при формальном доказательстве утверждения

[garvett]

Всех приветствую! Уже несколько дней думаю об одной формальной детали в док-ве, с которой никкинеимогу управиться.

Задача следующая: доказать, что если функция $f(x)$ имеет на отрезке $[a;b]$ непрерывную производную, то $f(x)$ может быть представлена в виде разности двух монотонных функций.

Идея у меня полностью готова. Надо лишь рассмотреть функции $\varphi(x)$ и $\psi(x)$, определённые следующим образом: функция $\varphi(x)$ совпадает с $f’(x)$ там, где $f’(x) ≥ 0$, и тождественна нулю там, где $f’(x) < 0$ (я написал $≤ 0$, однако это ни на что не влияет); $\psi(x)$ совпадает с $f’(x)$ там, где $f’(x) ≤ 0$, и тождественна нулю там, где $f’(x) > 0$. Тогда получается, что $f’(t) = \varphi(t) + \psi(t)\;\; ∀t ∈ [a;b]$. Тогда, проинтегрировав обе части последнего равенства на промежутке $[a;x]$, где $x$ меняется от $a$ до $b$, мы получим, что

$$f(x) + C = \int_{a}^{x}\varphi(t)dt + \int_{a}^{x}\psi(t)dt = \int_{a}^{x}\varphi(t)dt - \int_{x}^{a}\psi(t)dt,$$

где $C$ — некоторая постоянная. Так как функция $\varphi(t)$ является, по своему определению, неотрицательной, то её неопределённый интеграл, будучи её первообразной, будет монотонно возрастающей на отрезке $[а;b]$ функцией. Аналогично, неопределённый интеграл от функции $\psi(t)$ будет монотонно убывающей функцией, ведь $\psi(t)$ неположительна на $[a;b]$. Следовательно, если домножить её на $-1$, то последняя функция станет монотонно возрастающей. Отсюда $f(x) = [\varphi(x) + A] - \psi(x)$, где как вычитаемое, так и уменьшаемое, есть монотонно возрастающие функции ($A \in \mathbb{R}$).

Проблема, однако, в другом. Когда я оформлял решение задачи, то я дошёл до шага с доказательством непрерывности функций $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ на $[a;b]$. Я полностью понимаю причину, по которой они являются непрерывными, однако для формального обоснования этих фактов нужно кучу всего доказать. Я рассмотрел случаи, когда в точке $\xi \in [a;b]$, непрерывность в которой мы хотим установить (я рассматривал функцию $\varphi(x)$, ведь для $\psi(x)$ док-во было бы аналогичным), функция $f’(x)$ принимает положительное значение (тогда в некоторой окрестности точки $\xi$ $\varphi(x)$ совпадает с $f’(x)$), и отрицательное значение (тогда в некоторой окрестности точки $\xi$ $\varphi(x)$ тождественна нулю). В этих случаях непрерывность достаточно просто доказывается, если доказать несколько вспомогательных утверждений. Однако с точками, где $f’(\xi) = 0$ ситуация обстоит сложнее. Я знаю, что это нужно свести к рассмотрению левого и правого односторонних пределов функции $\varphi(x)$ в точке $\xi$, однако возможно достаточно много частных случаев, которые дóлжно разбирать отдельно (например, когда $\xi = a$, $\xi = b$; или когда в обоих полуокрестностях точки $\xi$ функция $f’(x)$ неотрицательна/отрицательна; либо же когда в одной из полуокрестностей функция $f’(x)$ положительна, а в другой — отрицательна и т.д.).

Так вот, хотел спросить: можно ли это всё сделать проще? Я говорю именно о формальных тонкостях обращения с точками $\xi$ такими, что $f’(\xi) = 0$. Мне не нужно другое решение.

Я мог бы поступить гораздо проще, сказав, что «очевидно, что эти функции непрерывны на $[a;b]$», но сами понимаете, для меня это не вариант. Хотя с точки зрения учебника этот вариант был бы логичным, ведь интуитивные соображения в нём играют далеко не последнюю роль (автор сам позиционирует так свой курс). Непрерывность мне нужно доказать для обеспечения интегрируемости $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ на $[a;b]$.

Учебник: Курант Р., «Курс Дифференциального и Интегрального исчисления», Том 1, задача сразу после приложения о существовании определёного интеграла непрерывной функции (она там единственная).

[Null]

$\varphi(x)=\max(f(x),0)$

[demolishka]

garvett в сообщении #1544668 писал(а):

достаточно много частных случаев

В точках множества $f'(x)=0$ непрерывность также следует из непрерывности $f'$: близкие точки либо попадают в $f'(x)>0$, либо, что еще лучше, в его дополнение, где функция равна нулю. Тут удобно определение хоть по Коши, хоть по Гейне.

[garvett]

Null в сообщении #1544672 писал(а):

$\varphi(x)=\max(f(x),0)$

Боже мой, какой я идиот….
Спасибо.

[iifat]

Null в сообщении #1544672 писал(а):

$\varphi(x)=\max(f(x),0)$

Недопол. С чего б ей быть монотонной? Или вы знаки производных забыли?

[Null]

iifat в сообщении #1544785 писал(а):

Недопол. С чего б ей быть монотонной? Или вы знаки производных забыли?

Да, $\varphi(x)=\max(f'(x),0)$