Проблема с доказательствами

[zenomuku]

Здравствуйте, у меня проблема не с какой то конкретной задачей, а скорее более общая, которая встречается у меня постоянно, когда я занимаюсь математикой.
На данный момент изучаю "Начала анализа" Эдмунда Ландау для того, чтобы освоить навык доказательства, да и в целом подбираю литературу для того, чтобы сформировать в голове "универсальную базу" - основы математики, которые позволят одновременно изучать уже другие интересующие меня математические дисциплины. Пролистывал разные книги и остановился почему-то на этой, меня наверное подкупило предисловие, в котором автор писал, что книга эта призвана формировать в читателе навык доказывания теорем, да и тема определения свойств натуральных чисел, дробей, рациональных и действительных чисел хотя бы отдаленно о чем то говорит, тк все это проходилось в школе, хоть и довольно давно.
И на половине изучения данной книги я начал понимать, что я просто ее запоминаю, не понимая как правильно доказывать, самостоятельно какие-то следствия не провожу. Если я прочту посылку к какой то еще неизвестной, новой, теореме, хотя она основана на том, что я помню, то в голове просто ветер гуляет и без разжевывания автора в голове никаких мыслей нет. Те чтобы пошло хоть какое то мышление, мне нужно именно вспомнить хотя бы пару слов из доказательства теоремы, но своих мыслей по поводу решения никаких нет. Может я выбрал не ту книгу для изучения? Хотя в предисловии автор говорит что в процессе работы с ней я должен учиться доказательствам, а этого не происходит.
Ранее пытался работать с "Введение в математическую логику" Валентина Зюзькова, но решил тогда взять вышеназванную книгу, тк посчитал ее пока слишком сложной. Но никаких изменений нет, хотя занимаюсь я довольно регулярно, каждый день если не изучаю новую тему, то прокручиваю в голове то что уже понял.
Занимаюсь я математикой больше из удовольствия и общего развития, ну и для решения в будущем прикладных задач. Хотя, подготовка у меня ограничивается на данный момент 11 классами, но хочется это как то исправить.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
из-за отсутствия в вопросе следующей информации:

- какая у вас базовая подготовка (и формальная, и фактическая)?
- какова конечная цель "изучения математики"?
- какие усилия/время вы можете выделить на изучение.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[gefest_md]

Много книг на эту тему есть на английском языке. Мне нравится D.Velleman, How to prove it, a structured approach. В последнем издании есть изменения.

[Neos]

Посмотрите книгу Успенский В.А. Простейшие примеры математических доказательств. МЦНМО. Погуглите "Математическое доказательство".

[zenomuku]

Спасибо вам за ответы, действительно, вся интересующая меня тема находилась как раз в уже упомянутой, мной книге Зюзькова. Только надо было внимательнее прочитать оглавление. Поразмыслил над некоторыми вещами от туда и сделал некоторые выводы, которые привели к новым вопросам.
Во первых, я забыл чем занимался и что такое доказательство в целом.
Доказательство - это сведение каких либо предположений к утверждениям, истинность которых уже установлено. В математике применяется аксиоматический метод доказательства - в нем мы применяем определенный набор аксиом, истинность которых мы примимаем без доказательств. И на их основе мы строим теоремы. Те мы "трансфоомируем" одни истинные утверждения в другие. Например, доказав что неравенство не меняется, если в левую и правую часть прибавить одно и то же число, мы можем преобразовывать равенство и неравенство в другое неравенство.
Те если учебник требует доказать теорему, выводом которого оно является, мы смотрим на посылки и записываем связанные с ними выражения. И с помощью таких вот преобразований мы выводим то, что от нас требует доказываемая теорема.
Это работало до главы, где описываются целые числа. До нее мы брали выводы доказанных теорем и преобразовывали их в новые. Но в целых числах и в последующих за ними сеченияих при доказательствах используется "взятые из потолка" выражения и у меня появились некоторые предположения как автор учебника все это делает, также у меня появились некоторые докадки по поводу порядка следуемых в книге теорем.
Интуиция подсказывает, что мне нужно более плотно заняться матлогикой и при прочтении материала у меня возникло пару вопросов.
А) формальная логика отличается от содержательной следующим образом.
1)строго определенные аксиомы. В содержательной логике разве аксиом нет? По Челепанову истины делятся на непосредственно очевидные и посредственно очевидные. Непосредственно очевидные истины характеризуются тем, что их истинность устанавливается наблюдениями. Посредственно очевидные истины усматриваются посредством других истинных суждений. Но разве аксиомы/теоремы не схожи с непосредственно истинными суждениями/посредственно истиными суждемиями? Или сходство обманчиво только наличием силлогизмов и в формальной и содержательной логике? Просто мне сложно провести черту между формой и содержанием. И разницу между законами их логик.
Я помню что форму характеризует объем понятия - множество всех вещей, попадающих под его содержание. А содержание характеризует набор признаков, из которых состоит это понятие.
Например: объем понятия "мобильный телефон" состоят все устройства, предназначенные для работы в сотовых сетях и они имеют возможность перемещаться силой одного человека. В него входят отдельные представления-экземпляры, попадающие под описание. Содержание же понятия "мобильный телефон" может быть представлен набором признаков "неживой, рукотворный, устройство связи, приемник, передатчик, сделан из пластика, айти..."
То есть формальное доказательство может иметь в выводе форму чего бы это ни было? А содержательное доказательство доказывает все на конкретном примере?
Те формальное доказательство зависимости, допустим, площади круга от его радиуса будет выражается утверждениями, выведенными из евклидовых аксиом, а содержательное можно будет провести линейкой и циркулем?
В этом разница?
Хотя что то меня понесло и я так и не понял, есть ли в содержательных доказательствах аксиомы или нет. Хотя если рассматривать пример с кругом, то мы можем, наверное, вывести формулу если перемерием достаточное число кругов.
Но при этом не воспользуемся аксиомами
В этом соль?
2) В формальной логике есть строго выверенный набор форм рассуждений, которые мы можем вести. Тут вроде все ясно. В содержательной логике мы можем доказывать на естественном языке, стихами, рисовать картинку, схемы, графики. Мы можем на доске начертить график основного тригонометрического тождества (Оx - cos Oy-sin) и установить, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1 имеет график круга и что есть заменить тригонометрические функции на просто числа из оси икс и игрек (те обобщить), то можем сделать вывод что функция рисования для круга именно такова. В формальном доказательстве мы не располагаем графическими представлениями же в принципами. Только заранее определенным языком. Те в рамках формального синтаксиса мы устанавливаем что есть круг, и что есть формула, и ищем пересечение этих двух множеств.
Это так?
И третье, тк все наше мышление в формальных доказательствах завязано на аксиомах, то в выводе будут только утверждения, которые будут формировать объем понятия, насчет его содержания нам ничего не известно: сколько представлений подходят пол получившуюся форму, какие у них будут другие признаки, не относящиеся к форме:нам не ищвестно. Фоомулы закона Ома могут нам предсказать, какова будет сила тока, протекающая через резистор при приложенном к нему напряжением, но она не скажет, какой объем производителей его выпускают, какой объем химических элементов входят у его состав, это все формы закона ома не касается.
В содержательной же логике вывод указывал на конкретный резистор с конкретной маркой
Или я что то путаю?
То есть при содержательном доказательстве мы постоянно сравниваем математические объекты с чем то реальным?
Я запомнил понятие последующего загибая пальцы на руках или мысленно представляя числовую линию. Или то, что истинность неравенства не меняется, если в левую и правую часть прибавить одно и то же число, я представлял себе в голове картинку весов, на одной половине которого лежит кучка и на другой. Если мы положим по одинаковой гирьке и туда и туда, то весы не шелохнуться.
Это солержательные (неформальные) доказательства все?
То есть, если вышесказанное верно, то я пытался до этого пропихнуть содержание в формализм?
И еще вопрос: что такое семантическая и дедуктивные системы?
То есть среди множества формул (подмножества алфавита, тут я могу путаться, тк еще глубоко не вникал) мы выделяем последовательность символов, допустим "лалалладктдпштвьвл" и вне формальных рассуждений уже его как то называем? Только это?
А дедуктивная система устанавливает как мы выражаем своей мысли и правила, на основании которых строится вывод?

-- 31.12.2021, 07:39 --

Да, говоря логика я подразумевал доказательство. Хотя может и логику тоже.
Ведь ее законы одинаковы и в формальном и содержательном (психологическом) доказательстве?

[zenomuku]

То есть в формальных доказательствах за утверждения берутся именно множество свойств понятий (форма) и не рассматриваются сами понятия в качестве примеров?
То есть содержательное доказательство теоремы Пифагора это подобные модели?
https://youtu.be/CAkMUdeB06o
Или если начертить фигуры из видео выше и замерить их площадь линейкой?
А формальное доказательство будет обосновываться именно через евклидовы аксиомы?
Получается, утверждения содержательного доказательства выражают конкретные черты каких либо конкретных предметов-представители какой либо формы (в последствии мы обобщаем полученную теоремы на всех подобных представителей, те на всю форму), а формальное утверждения выражают свойства формы, без "лишнего" звена в виде обобщения?

[zenomuku]

Семантика это получается смысл формулы?
То есть для выражения из теоремы вида
$x > y \Rightarrow x + z > y + z$
Семантикой будет "преобразование неравенства и равенства в другое равенство", а дедуктикой доказательство теоремы?

[пианист]

zenomuku в сообщении #1544557 писал(а):

На данный момент изучаю "Начала анализа" Эдмунда Ландау для того, чтобы освоить навык доказательства

Навыки доказательства Вы приобретете, занимаясь любым разделом математики. Математический анализ имхо лучше изучать не по Ландау, есть много прекрасных учебных пособий.

zenomuku в сообщении #1544557 писал(а):

И на половине изучения данной книги я начал понимать, что я просто ее запоминаю, не понимая как правильно доказывать, самостоятельно какие-то следствия не провожу

Собственные соображения появятся, когда предмет станет знакомым и привычным. Ждать этого, когда только начинаешь изучение, не стоит.

zenomuku в сообщении #1544557 писал(а):

пытался работать с "Введение в математическую логику" Валентина Зюзькова

zenomuku в сообщении #1544734 писал(а):

Интуиция подсказывает, что мне нужно более плотно заняться матлогикой

Интуиция Вас подвела. Математической логикой есть смысл заниматься, если интересует математическая логика. Предмет этот стоит особняком и с остальной частью математики почти не связан.

[zenomuku]

пианист в сообщении #1544763 писал(а):

Предмет этот стоит особняком и с остальной частью математики почти не связан.

Но позвольте, разве она не занимается определением правил, по которым ведется правильное доказательство? Как без матлогики отличить имеющие смысл от бессмыслицы, истинное выражение от ложного?

пианист в сообщении #1544763 писал(а):

Собственные соображения появятся, когда предмет станет знакомым и привычным. Ждать этого, когда только начинаешь изучение, не стоит.

Хм, вы говорите о формировании "здравого смысла", когда бессознательно определяем ошибку в выражениях? Разве за такой большой срок существования математики еще не открыли строгие способы чтобы отличить истинное от ложного?
Да, математика в целом приводит к упорядочиванию мышления, формируются привычки, способствующие этому. Но разве систематизация этих привычек и осознанность деятельности не эффективнее чем выработка навыка на уровне рефлекса?

пианист в сообщении #1544763 писал(а):

Навыки доказательства Вы приобретете, занимаясь любым разделом математики. Математический анализ имхо лучше изучать не по Ландау, есть много прекрасных учебных пособий.

А мне пока это нравится. Меня порадовала эта книжка тем, что она по большому счету, начинает с формализации арифметики. Ну, как я понял. Создает непрерывную линию от натуральных чисел до действительных и комплексных и довольно понятно раскрывает, почему натуральные числа часто опускают и переходят к целым, почему, на первый взгляд, одно и то же называют по разному.
А вам она чем не понравилось? Какие в ней недостатки?

[пианист]

zenomuku в сообщении #1544767 писал(а):

Как без матлогики отличить имеющие смысл от бессмыслицы

Да как-то нет в математике такой проблемы, отличить осмысленные рассуждения от бессмыслицы :о
Другое дело, что рассуждения могут быть сколь угодно сложны, да еще и часто излагаются в статьях с пропусками (в которых потом иногда находят ошибки), но уж тут матлогика точно ни при чем, в ней самой все ровно то же самое :)

zenomuku в сообщении #1544767 писал(а):

Хм, вы говорите о формировании "здравого смысла", когда бессознательно определяем ошибку в выражениях?

Вы же, вроде, досадовали на то, что "самостоятельно какие-то следствия не провожу", я и комментировал ровно это.

zenomuku в сообщении #1544767 писал(а):

А мне пока это нравится.

Нравится - читайте, какие проблемы.
Что мне книга Ландау не нравится, я не говорил. Для ознакомления с матанализом я бы ее не рекомендовал в силу заформализованности.

[zenomuku]

пианист в сообщении #1544773 писал(а):

Да как-то нет в математике такой проблемы, отличить осмысленные рассуждения от бессмыслицы :о

В математике, да нет. А в выражениях того, кто ей занимается - вполне бывает :)
Вот допустим я попытаюсь описать реальный объект математическим методом, как мне убедиться что я сделал это правильно? Или как я пойму, правильно ли я вывел теорему - без помощи автора пособия? Или как заранее узнать, не заглядывая в книгу, какая теорема должна следовать следующей в изучаемой мной теории?
Или как понять, что в процессе доказательства я зашел вообще не туда или как понять с чего начать само доказательство?
При изучении Ландау я часто замечаю что смысл взятого им выражения понимается только в конце теоремы. При доказательстве того, что при любых заданных рациональных чисел существует целое, при произведении которого справедливо неравенство такие вот пассажи меня довольно сильно путают. Встает вопрос "Как он до этого додумался и почему я до этого сам не допер?"

[Pphantom]

zenomuku в сообщении #1544775 писал(а):

При изучении Ландау я часто замечаю что смысл взятого им выражения понимается только в конце теоремы. При доказательстве того, что при любых заданных рациональных чисел существует целое, при произведении которого справедливо неравенство такие вот пассажи меня довольно сильно путают. Встает вопрос "Как он до этого додумался и почему я до этого сам не допер?"

zenomuku, вы не учитываете, что способ первого получения какого-то результата (и прилагающиеся к нему мотивировки и основания для поиска) и способ его максимально краткого и формализованного изложения совсем не обязаны совпадать, более того, практически никогда и не совпадают. Ландау намеренно писал книгу, реализующую второй вариант (о чем и сообщил сразу в двух предисловиях к ней), поэтому использовать ее для понимания первого... скажем так, не вполне разумно. На самом деле это скорее чтение для человека, который в основном уже знает элементарный матанализ и хочет подвести под него более аккуратную формализацию, а не для первичного знакомства с обсуждаемыми вопросами.

[zenomuku]

Pphantom в сообщении #1544780 писал(а):

Ландау намеренно писал книгу, реализующую второй вариант

Приведу лучше пример, который меня смущает, потому что я перечитал предисловие для учащегося и не усмотрел в нем вашей мысли.
Дабы избежать недопонимания между мной и вами.

Упоминая "пассажи", я подразумевал вот эту теорему, там где объявляется дробь$\frac{z}{v}$.
Вот как он ее объявил? Ваш пост относился к выражениям такого рода?
Почему я уточняю? Потому что я подозреваю, что Эдмунд расчитывал на то, что читатель будет как то самостоятельно анализировать его книгу и сам найдет закономерность. И кажется я ее нашел, но не знаю, заслуга ли это этой книги или есть книжки, при прочтении которых у меня это произошло бы раньше.
Недавно, я попробовал рассуждать немного по другому и у меня получилось другое доказательство, слегка отличающееся (правда довольно косое и с лишним шагом, но формально правильное). Потом я составил список теорем, рассортировал их по темам и обнаружил что их порядок все таки не случаен и делится не только на главы, но и на посылки самих теорем. Сначала рассматривается отношение числа какого то множества самого к себе, потом вводится порядок и отношения какого то действия (сложения, умножения) к числу, которое является само "участником действия" (сумма больше слагаемого), далее рассматриваются "трансформации" двух разных выражений в третье. Я еще не закончил такой анализ, надеюсь в этом есть смысл. Или я уже высасываю из пальца и автор ничего такого не вкладывал?
И если все таки опустить вышесказанное, то какая книга наиболее подходящая для выработки навыка доказательства? Ведь ход Ландау в теореме на скриншоте наверняка как то называется и подобные формы выводов давно уже упорядочены. Эта мысль просто напрашивается сама собой.

[пианист]

zenomuku в сообщении #1544784 писал(а):

Упоминая "пассажи", я подразумевал вот эту теорему

(Наверное, где-то там подразумевается, что $X \ne 0$)
Разве у Вас утверждение данной теоремы вызывает какое-то сомнение? (с поправкой выше)

zenomuku в сообщении #1544784 писал(а):

Я еще не закончил такой анализ, надеюсь в этом есть смысл

Если речь об изучении матанализа, то, боюсь, никакого.