Проблема с доказательствами

[Pphantom]

zenomuku в сообщении #1544784 писал(а):

Вот как он ее объявил? Ваш пост относился к выражениям такого рода?

В частности. Утверждение, пожалуй, вполне очевидно (по крайней мере для человека, закончившего школу), неочевидно доказательство, которое в таком виде нужно для минимизации всей цепочки в целом и строится уже после того как известны все утверждения цепочки.

[zenomuku]

пианист в сообщении #1544799 писал(а):

(Наверное, где-то там подразумевается, что $X \ne 0$)

Ноль в данной книге число действительное. Его еще не ввели
Нет, утверждение складное. Мне интересен ход мысли автора, когда он строил выражение $\frac{z}{v}=\frac{Y}{X}$.

пианист в сообщении #1544799 писал(а):

Если речь об изучении матанализа, то, боюсь, никакого.

А к какой области подобные рассуждения относятся?

[gefest_md]

zenomuku в сообщении #1544784 писал(а):

Упоминая "пассажи", я подразумевал вот эту теорему, там где объявляется дробь$\frac{z}{v}$.

Более формальный вид теоремы выглядит так: $\forall X\forall Y\exists z(zX>Y)$
Сначала объявляем произвольными $X$ и $Y.$ Тогда по теореме 89 существуют числа $y$ и $v$ такие, что $\frac{y}{v}>\frac{Y}{X}.$ По теореме 111, $v\geqslant 1$.
(Дальше в теореме следует квантор $\exists z$. Поэтому) Возьмём $z=y$.
Дальше следует строка формул из книги.
Если сейчас понятнее, то этот стиль излагается в книге, которую я раньше упомянул.

[пианист]

zenomuku в сообщении #1544805 писал(а):

А к какой области подобные рассуждения относятся?

Интеллектуальное развлечение, типа разгадывания кроссвордов.

[zenomuku]

gefest_md в сообщении #1544810 писал(а):

Тогда по теореме 89 существуют числа $y$ и $v$ такие, что $\frac{y}{v}>\frac{Y}{X}.$ По теореме 111, $v\geqslant 1$.

Глядя на это я понимаю, что это правильно, все основывается на доказанные теоремы. Просто вопросы у меня возникают, когда пытаюсь понять ход мысли того, кто в первый раз это все придумал и записал. Ведь он не мог заранее знать, что именно 89 теорема даст такой вот результат. Или как он вообще додумался задать такой вопрос, который рассматривает 115 теорема? Почему она вообще записана и как была обнаружена? Как развить такую вот фантазию, которая позволить самостоятельно написать такой вот труд, который я изучаю?
Да, читая заранее теорему, все становится понятно и очевидно, но если никакого учебника нет, как строить новую математическую теорию? (те совокупность теорем, систему знаний, описывающее совокупность явлений/утверждений)?

пианист в сообщении #1544820 писал(а):

Интеллектуальное развлечение, типа разгадывания кроссвордов.

То есть из результатов поиска подобных закономерностей никаких следствий провести не получится?

[gefest_md]

zenomuku в сообщении #1544848 писал(а):

Ведь он не мог заранее знать, что именно 89 теорема даст такой вот результат. Или как он вообще додумался задать такой вопрос, который рассматривает 115 теорема? Почему она вообще записана и как была обнаружена?

Теоремы 89 и 111, как я понял, можно объединить в одну теорему, которая имеет приблизительно следующий вид: $\forall A\forall B\exists a\exists b\left(\left(b\geqslant 1\right)\wedge\left(\frac{a}{b}>\frac{A}{B}\right)\right)$. Он похоже на вид теоремы 115, что может подвести к нахождению её доказательства: мы подставили $X$ и $Y$ вместо $A$ и $B$ и дальше достигаем квантора $\exists a$, а как раз это может быть полезным - мы ищем $z$, в теореме 115 квантор $\exists z.$

[мат-ламер]

zenomuku в сообщении #1544734 писал(а):

Те формальное доказательство зависимости, допустим, площади круга от его радиуса будет выражается утверждениями, выведенными из евклидовых аксиом, а содержательное можно будет провести линейкой и циркулем?
В этом разница?

Почему вы вообще противопоставляете формальное доказательство и содержательное? В математике такого противопоставления нет. Доказательство есть доказательство. В математической логике есть что-то, что можно было назвать формальным доказательством. Только оно там называется не доказательством, а выводом. Это когда из системы аксиом путём применения формальных правил логического вывода выводится некое следствие.

zenomuku в сообщении #1544767 писал(а):

Но позвольте, разве она (матлогика - моё примечание) не занимается определением правил, по которым ведется правильное доказательство? Как без матлогики отличить имеющие смысл от бессмыслицы, истинное выражение от ложного?

zenomuku в сообщении #1544767 писал(а):

Разве за такой большой срок существования математики еще не открыли строгие способы чтобы отличить истинное от ложного?

По-моему, матлогика, это не наука о том, как надо правильно доказывать, а наука о том, что некоторые вещи нельзя доказать в принципе. И в частности о том, что в принципе не существует формализованной процедуры, которая позволит отличить истинное высказывание от ложного за некое заранее ограниченное время.

-- Сб янв 01, 2022 22:20:49 --

zenomuku
Я боюсь, что вы находитесь в плену ложных понятий. Возможно вы думаете, что проработав основательно книгу Ландау вы научитесь доказывать теоремы, пусть не из всей математики, но хотя бы из анализа. Так это не так. Вы научитесь доказывать простейшие теоремы о числах, которые и так нам кажутся очевидными. Я прочёл оба предисловия к книге. Там нигде не сказано, что она предназначена для развития навыков логического мышления и для развития навыков умения чего-то доказывать. Хотя я думаю, пусть это не написано, но она должна дать понять, что даже простейшие вещи, которые кажутся очевидными, надо уметь доказывать.

История создания этой книги следующая (если я правильно понял). Ландау посмотрел на существующие в то время (наверное, где-то лет 90 назад) учебники анализа. И ему не понравилась та строгость с которой они начинались. А начинать по его мнению надо было со строгого определения действительных чисел. Ибо исходя из этого можно уже строго доказывать остальные теоремы. (У меня на компе старых учебников анализа нет. Разве что нашёл учебники Куранта и Банаха. Там действительно нет строгого определения действительных чисел). И это должно было стать первой главой его будущего учебника анализа. Не знаю, написал ли он его. Но темой он увлёкся и он решил копать с самых основ. Поэтому в книге появились разделы, которые обычно излагаются не в учебниках анализа, а при изложении других дисциплин - теория целых чисел, рациональных чисел, комплексных чисел и т.д. Обычно свойства целых чисел мы знаем со школы на уровне интуиции. Но может быть кого-то это не устраивает. И он хочет понять, почему минус умножить на минус будет плюс. Наверное, Ландау сделал большое дело. И уже Курс Фихтенгольца (первое издание - 1948 г.) начинается с вводной главы, посвящённой изложению действительных чисел по Дедекинду. Я думаю, что этого достаточно знать по предмету, который рассматривает Ландау для начинающего изучать математику. Всё остальное мне показалось ужасно скучным.

И чтобы вы меня правильно поняли. Я не критикую книгу Ландау. Я считаю, что она очень бедна содержательным материалом, на котором можно было научиться чего-нибудь полезному.

[пианист]

zenomuku в сообщении #1544848 писал(а):

То есть из результатов поиска подобных закономерностей никаких следствий провести не получится?

Если Вы подразумеваете такие следствия, факт получения которых будет интересен кому-то, кроме Вас, то увы, прежде надобно, чтобы Вы свободно владели материалом.

(Оффтоп)

Впрочем, даже в случае, когда тема вполне освоена, попытки сделать какие-то собственные (мало-мальски небанальные) выводы могут оказаться тщетными, бывает, к сожалению, и такое, владение материалом это лишь необходимое условие.

мат-ламер в сообщении #1544883 писал(а):

Я не критикую книгу Ландау. Я считаю, что она очень бедна содержательным материалом, на котором можно было научиться чего-нибудь полезному.

+1

[damir_777]

Вам нужно освоить три базовых метода доказательства: Direct Proof, Proof by Contraposition и Proof by Contradiction. Я написал на английском, потому что хочу предложить вам 2 книги на английском языке, с помощью которых я научился доказывать некоторые теоремы, ну или утверждения, пусть пока не очень сложные . Эти три метода, а в дальнейшем вы познакомитесь еще с некоторыми, например, мощный метод
математической индукции дают базу для доказательства в любой области математики.
1.Discrete Mathematics and Its Applications . Автор Kenneth Rosen
Сейчас занимаюсь по ней. Для доказательства важно понимание формальной логики, что и делается в первой главе книги и в которую включены
методы доказательства. То есть принцип методов поясняется на правилах формальной логики. Конечно, можно было вначале прочитать целый учебник по логике, потом перейти к пониманию доказательств, но это немного долго. Здесь же дается и база формальной логики и доказательства, и кстати, доказательства в дальнейших главах основываются на методах , пройденных в первой главе, так что это супер для закрепления и понимания. Самое важное что хочу добавить, если будете изучать, то изучайте последовательно, в начале даже есть план какие главы зависят от предыдущих. Я , например, начал с комбинаторики, а в ней некоторые доказательства основаны на математической индукции, а этого я тогда
еще не проходил, поэтому были не очень понятны некоторые моменты. Так что следуйте главному принципу обучения, от простого к сложному.
2. Mathematical Proofs. Авторы: Gary Chartrand, Albert D.Polimeni, Ping Zhang
Книга с большим количество примеров. Книга по большей части посвящена доказательствам, и предназначена для студентов, которые только начинают знакомиться с теорией множеств, логикой, функциями, теорией чисел. Т.е. вы можете комбинировать две книги. По этой книге пока не занимался, думаю она для меня будет как удобный сборник упражнений для повторения, если что то забуду. Тоже в ней всё подробно разъясняется.
3. https://www.youtube.com/watch?v=tyDKR4F ... u4XX3A0cIz . Канал Trev Tutor. Отличное дополнение, если что то не понял.

-- 03.01.2022, 18:30 --

gefest_md в сообщении #1544623 писал(а):

Много книг на эту тему есть на английском языке. Мне нравится D.Velleman, How to prove it, a structured approach. В последнем издании есть изменения.

Кстати скачал.много интересных упражнений. Спасибо , пополнил базу хороших книг

[мат-ламер]

zenomuku в сообщении #1544734 писал(а):

Те формальное доказательство зависимости, допустим, площади круга от его радиуса будет выражается утверждениями, выведенными из евклидовых аксиом, а содержательное можно будет провести линейкой и циркулем?
В этом разница?

Пытаюсь осмыслить написанное топик-стартером. Рассмотрим пример. Пусть нам надо доказать неравенство $\sin x < x < \operatorname{tg} x$ для $0 < x < \pi \slash 2$ . Наверное формальное доказательство должно выглядеть в духе Ландау и выводиться из какого-то набора аксиом (так, чтобы его понял компьютер). Но тогда нам бы пришлось формально определить тригонометрические функции и копать уж очень глубоко. Наверное так и делается где-нибудь у Бурбаки или Дьедонне. Но для начинающего изучать анализ проще воспользоваться наглядным геометрическим доказательством в духе древних греков. Они просто рисовали чертёж и говорили "смотри". (Хотя быть может это миф). И это сэкономит кучу времени. И это не называется содержательным доказательством. Это будет полноценное доказательство, основанное на школьном курсе геометрии, а не на списке каких-то аксиом. (К слову "смотри" там надо добавить ещё пару слов на счёт сравнения площадей некоторых фигур, но это детали).