Это вы показали почему возникает ошибка?
Почему возникает, понятно. Более интересно было бы рассмотреть, а что делать, чтобы она не возникала. Допустим, надо нам найти разложение Тейлора подобной функции, а её производные вычислить довольно проблематично. Хотя в данном случае производные ищутся легко, но, допустим, это не так. Понятно, что речь идёт не о задаче из задачника, в которых как правило, разобраться легко, а о реальной задаче с которой сталкиваются физики. Этот пример просто возьмём для иллюстрации. В данном случае лучше выражение привести к единому знаменателю:

. Дальше, выражение

раскладывать в ряд не возведением в квадрат ряда, а непосредственно вычисляя производные. А сколько членов взять, уже смотреть, чтобы в числителе не возникла потеря точности.
Что нельзя пользоваться знаком примерного равенства, надеюсь, топик-стартер понял. Надо писать точные равенства с о-малыми. И надо знать, как с ними обращаться.
Я слышал и такую точку зрения, что складывать и вычитать выражения с бесконечно малыми вообще в корне методически неверно. Возможно это и так с точки зрения решения задач из задачника по анализу. Но у физиков, как я понимаю, своя точка зрения на то, что можно, а что нельзя. И если нельзя, но что-то надо делать, то наверное всё же надо что-то делать. Только аккуратно.